【摘 要】
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近年来,张量分析已经成为数学领域的一个热门的研究方向.张量在数学上可以看作矩阵的扩展,其主要包括张量分解和张量特征值的理论和解法.1927年,Hitchcock首次提出了张量分解
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近年来,张量分析已经成为数学领域的一个热门的研究方向.张量在数学上可以看作矩阵的扩展,其主要包括张量分解和张量特征值的理论和解法.1927年,Hitchcock首次提出了张量分解这一概念,其中最具有代表性的是CP分解和Tucker分解.2005年左右,祁力群和Lim分别独立的给出张量特征值的概念及相关性质,包括多种形式,例如:Z-特征值,H-特征值,E-特征值等.本文主要研究对称张量Z-特征值的计算,主要进行两方面的研究.一是将张量Z-特征值问题转化为优化问题,并提出计算张量Z-特征值的投影梯度法.二是将张量Z-特征值问题转化为非线性方程组,并提出求解对称张量Z-特征值的Gauss-Newton法.论文共三章,其中第二章和第三章是论文的主要部分.本论文的具体安排:第一章,主要介绍张量特征值问题的研究背景和研究现状,给出本论文要用到基础知识和基本理论.第二章,结合凸集上的投影理论,提出非单调投影梯度法进而求解对称张量的极小Z-特征值.此外,在线性搜索中加入非单调线搜索技术以加快收敛,并证明了算法的全局收敛性.在数值实验中,对2维问题,将几何直观与算法的数值结果进行对照,并给出一些高维问题的数值结果,表明无论是在低维还是高维的情况下提出的算法都是有效的.第三章,主要将对称张量Z-特征值问题转化成非线性方程组.基于评价函数和共轭梯度方向,提出求解张量Z-特征值的Gauss-Newton方法.并证明了算法的全局收敛性.数值实验验证了算法的合理性及有效性.
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