形式概念分析和粗糙集理论是数据分析和知识处理中的两个重要工具,它们是人工智能和信息科学中两个相互关联的、活跃的研究领域.一方面,二者的研究方式和研究侧重点有所不同：粗糙集理论的核心概念是近似空间和近似算子,其基本思想是通过对关系数据库进行分类归纳从而形成概念和规则；形式概念分析的核心则是形式背景及其概念格,它们通过对象与属性之间的某种关联来体现概念之间的层次关系,从而使数据得以简捷处理.另一方面,这两个学科又有着共同的研究背景和研究目标,并且都建立在关系(或序)基础之上,因此它们有着密切的联系,并且都与拓扑、代数、逻辑等学科紧密相关、相互渗透.随着计算机科学和信息科学的快速发展,它们的数学基础已经成为广大数学、计算机和信息工作者的共同研究领域并倍受关注.形式概念分析和粗糙集理论正是这样两个重要的研究领域.本文从代数和拓扑两个方面深入地研究了形式概念分析和粗糙集理论,主要结果如下.一.从拓扑学的角度在广义近似空间中引入了诸如Ti(i=0,1,2)分离性、正则性、正规性、紧性和连通性等拓扑性质.一个广义近似空间是指一个序对(U,R),其中U是一个非空集合,R是U上的一个二元关系.当R是预序时,(U,R)又是一个拓扑空间,从而称为一个拓扑近似空间.我们对该类拓扑空间的诸分离性和紧性利用关系R进行了刻画,然后推广这些刻画而得到一般广义近似空间的诸分离性和紧性的概念.为定义广义近似空间的连通性,我们引入了R-开集、R-闭集和R-既开又闭集等概念.我们探讨了广义近似空间的各种分离性之间的关系,我们也研究了拓扑空间与它所诱导的近似空间的上述几种拓扑性质之间的关系,我们还讨论了这几种拓扑性质对子近似空间的遗传性.二.研究了广义近似空间的格论性质.对于一个广义近似空间(U,R)我们引入了正则集的概念,探讨了多种集族的代数结构,得到了：(1)R-开集族、R-闭集族及R-既开又闭集族均是完全分配格和代数格,并且当R对称时还是完备布尔代数；(2)当R是串行关系时,可定义集族则是代数的完全分配格和完备布尔代数；(3)上(下)近似集族是完全分配格当且仅当关系R是正则关系；(4)如果关系R是传递的串行关系,那么正则集族是完备布尔代数,这一结果是Domain理论中相应结果的推广三.在quantale中利用quantale同余引入了近似算子和粗糙近似概念.探讨了这类近似算子的诸多性质,研究了quantale的粗糙(素、半素、准素)理想和粗糙子quantale.我们还把环论的素根定理推广到了quantale的粗糙素理想上,并在quantale中推广和改进了半群以及环中关于粗糙理想和粗糙素理想的同态像的若干结论.四.利用拓扑的方法研究了形式概念分析,定义了形式背景的诸如Ti(i=0,1,2)分离性和紧性等拓扑性质.探讨了分离性Ti(i=0,1,2)的性质及相互关系,证明了诸分离性对兼容子背景和嵌入子背景是遗传的,紧性对闭子背景是遗传的,它们都被满足一定条件的背景映射所保持.此外,我们还证明了紧形式背景的有限直积仍是紧的,无满行的Ti(i=0,1,2)形式背景的有限直积仍是Ti(i=0,1,2)形式背景.五.研究了粗糙概念格的代数性质.给定一个形式背景K,则得到Wille意义下的概念格L(K)和粗糙概念格RO-L(K).我们探讨了这两种概念格之间的关系,定义了形式背景的可定义集,证明了在一定条件下可定义集族Def(K)是完备集域,并且该集族在包含关系下是RO-L(K)的子完备格.此外,我们还给出了Def (K)与RO-L(K)相等的充要条件,证明了RO-L(K)是完全分配格的充要条件是涉及的关系是正则关系,并且给出了RO-L(K)是代数格的若干充分条件.