【摘 要】
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众所周知,曲率流的研究起源于几何不等式的研究,其中曲率流的扩张性在证明超曲面的不等式中发挥重要的作用,由此吸引了众多学者,最著名的是Huisken和Ilmanen的研究,他们利用逆平均曲率流证明了Riemannnian-Penrose不等式.随着研究的深入,逆曲率的存在性和收敛性问题不仅在证明几何不等式方面发挥重要作用,同时也在凸几何的Minkowski问题等方面有着重要应用.因此也吸引了众多专家
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众所周知,曲率流的研究起源于几何不等式的研究,其中曲率流的扩张性在证明超曲面的不等式中发挥重要的作用,由此吸引了众多学者,最著名的是Huisken和Ilmanen的研究,他们利用逆平均曲率流证明了Riemannnian-Penrose不等式.随着研究的深入,逆曲率的存在性和收敛性问题不仅在证明几何不等式方面发挥重要作用,同时也在凸几何的Minkowski问题等方面有着重要应用.因此也吸引了众多专家学者的兴趣.本文研究在欧氏空间Rn+1中一星形、-容许初始超曲面在一类非齐次逆曲率流下的演化,其中演化速度是关于主曲率的非齐次函数.利用完全非线性抛物方程理论证明了这类流的解长时间存在且做伸缩变换后的解收缩到球面上.该结果可看作对Gerhardt和Urbas关于非伸缩不变逆曲率流结果的推广.论文内容安排如下:第一章,主要介绍了逆曲率流的研究背景和研究进展,以及本文将要研究的问题和主要结果.第二章,主要介绍了逆曲率流的相关基础知识.包括线性抛物方程的极值原理,子流形几何等,并且我们推导了关于欧氏空间中超曲面的一些基本几何量的表达式,同时根据基础知识将本文研究的这类逆曲率流方程转化为完全非线性抛物方程.第三章,主要利用极值原理得到第二章中完全非线性抛物方程的正则性结果,包括C0估计、C1估计以及C2估计.第四章,我们证明了本文的主要定理,即得到流的长时间存在性,并给出渐进行为的刻画.第五章,我们总结了本文相关工作,并对与流未来发展的相关工作进行了展望.
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