本文研究次黎曼几何（M,D，g）上的测地线问题，其中M是一个光滑流形，g是一个定义在括号生成的分布D上的正定度量。我们知道，测地线都是极值，其中这些极值或者是“正态的”，或者是“非正态的”。其中正态极值都是局部最短线，我们称正态极值为正规测地线。是否每一条测地线都是正规测地线呢，许多年来一直这是个开问题，直到1991年，才被R.Montgamery解决，他举出了一个反例。我们称这种不是正态极值的测地线为奇异测地线，它们与度量无关，只与分布有关系。怎样的分布一定（不）存在奇异测地线呢？在本文中，证明了如果分布D括号生成类为(2，1，…，1)或者(2，1，…，1，2)的Carnot群，其上一定不存在奇异测地线。于是，可以立即知道，对于Goursat流形，其上一定不存在奇异测地线。而且，有下面推论，对于维数小于6的Carnot群，一定不存在奇异测地线。另外，我们构造了一大类Carnot群，其分布满足条件（B1）（见定义3.2），其上一定存在奇异测地线。不难发现对于Carnot群，维数等于5是是否存在奇异测地线的分界线。　　由于存在奇异测地线，一个自然的问题是:所有的测地线都光滑吗？因为正规测地线都是光滑曲线，那么这个问题简化为:所有的奇异测地线都光滑吗？迄今为止，这个问题是个开问题。在本文中，我们证明了如果分布D满足[D[D，D]](∈) D，以及其子分布K也满足[K,[K,K]](∈)K时，则奇异测地线都是光滑曲线。这是Montgomery的结果的推广[31]。根据这个结果，可以得到李群上一些分布使得所有奇异测地线都是光滑曲线。另外，我们证明了对于3维分布D满足条件(B2)（见定义4.1），可以得到所有的次黎曼测地线都是光滑曲线。然后，我们构造满足条件(B2)的李群，其上一定存在严格非正态极值。最后，讨论奇异测地线与刚性曲线的关系。我们能看到许多的奇异测地线都是刚性曲线[29][32]，那么是否所有的奇异测地线都是刚性曲线呢？我们证明了并非所有的奇异测地线都是刚性曲线，以及构造不是刚性曲线的奇异测地线。　　如果将次黎曼度量换成一个D上的不定的非退化度量，这就产生了另一种几何。其中最简单的一种情形是次洛伦兹度量，它是一个惯性指数为1的度量，这种几何称为次洛伦兹几何[60，55，52]。次洛伦兹几何上存在三种测地线，类时测地线，类空测地线，类光测地线。次洛伦兹测地线的研究要比次黎曼测地线要复杂的多。在这篇文章中，我们讨论被赋予洛伦兹度量的Heisenberg群上的测地线。首先，研究了类时将来曲线的可达到集，第二，给出了Hamiltonian测地线的完全描述，最后，我们计算了原点的类时共轭轨迹。