矩是一种广泛应用于多个方面的工具,其中最重要的是用于图像处理与分析,其中包含了计算机技术、图像检索、模式识别等各种领域。以正交多项式为基础的函数正交矩的稳定性的值会随着阶数的增大和计算过程中的累积的速度一起造成计算过程中的不稳定性,会最后影响图像重新构造出来图像的结果,因此现在必须用计算数值时的收敛性来为识别系统提供判定的方法,同时为多维系统的高阶情况的计算提供准确计算下的技术保障。因为多项式的解析式很繁琐,所以在平时的应用中,我们普遍使用递归多项式求解多项式的值。Fu、W.Gautschi等针对二阶递归运算等问题都做了很多有意义的探索,讨论了离散正交多项式的递归收敛性,但都未能找到二阶递归系统数值稳定性判定的有效方法。针对上述的问题,本文的研究是针对于离散时变线性系统稳定性,主要的研究详情如下:1、本文首先交代了连续正交矩、离散正交矩的定义,也交代了经典正交多项式的递归公式,在基于二阶离散时变线性系统的理论基础上,把三项递归公式转变为对阶数讨论的微分方程,从而来讨论递归系统的稳定性,并分析了误差情况。2、基于李雅普诺夫定理,将一个状态矩阵分解为一个酉矩阵乘以一个对角阵再乘以一个酉矩阵,再通过二阶离散时变系统稳定性的分析,利用SVD分解,将其转化为RS系统(一个单位旋转矩阵R,一个拉伸矩阵S)。给出了各个象限发散的判据。并利用Tchebichef多项式、Tchebichef变形多项式、Jacobsthal数列递归式与Krawtchouk多项式在Matlab上仿真出其发散轨迹图。3、通过Matlab仿真,计算出Tchebichef多项式、Tchebichef变形多项式、Krawtchouk多项式、Jacobsthal数列多项式的各个角度变化、奇异值大小、变换幅值比与斜率变化情况,验证了各个象限收敛、发散的判据。4、因为正交矩广泛地应用于图像重构、图像检索等各个方面,因此分别用三个不同的多项式对一个400×400的256灰度图像进行了重构,证明了其在图像重构中的应用。