拓扑绝缘体是一大类新的物质相，它们的体态是有能隙的，但是由于非平凡的能带拓扑，它们具有无能隙的表面态。量子霍尔系统、量子自旋霍尔系统、三维拓扑绝缘体等都是拓扑绝缘体的例子。近年来，拓扑绝缘体的研究大大加深了人们对凝聚态物理的理解，揭示了凝聚态物理和高能物理的联系。拓扑超导体是拓扑绝缘体概念的延伸，拓扑超导体中的费米子能谱也是有能隙的，所以可以进行拓扑分类，非平凡的拓扑超导体具有稳定的表面态。除了深刻的理论意义外，拓扑绝缘体和拓扑超导体在自旋电子学、拓扑量子计算等领域有广阔的应用前景。这篇博士论文除了介绍了拓扑绝缘体和拓扑超导体的基本概念外，主要包含以下三方面内容：　　 (1)对三维拓扑绝缘体，我们利用拓扑学中的数学工具，证明了拓扑能带理论和拓扑场论的分类是等价的。在此之前，三维拓扑绝缘体有两种独立的描述：　　 拓扑场论描述和拓扑能带理论描述。拓扑场论描述可以直接给出物理响应，而且对有电子-电子相互作用和无序的系统也有统一的描述。拓扑能带理论将所有拓扑绝缘体当做晶格中的电子气来处理，完全忽略电子-电子相互作用，这是它理论上的缺陷，但是它的优点是易于计算。我们在本文中证明，在无相互作用的极限下，拓扑场论的描述和拓扑能带理论的描述是等价的，因此建立了两种描述之间的明确关系。　　 (2)对存在电子-电子相互作用和无序的绝缘体，我们采用格林函数定义了一个拓扑不变量，这个拓扑不变量对应于拓扑场论中出现的量子化系数。　　 三维的时间反演不变的拓扑绝缘体用一个含有theta项的拓扑场论来描述，这个theta项有一个量子化的系数，它是拓扑绝缘体的拓扑不变量。以前的文献中给出了在没有电子-电子相互作用时这个不变量的表达式。在本文中，我们利用对称性和拓扑工具，提出了用格林函数构造有相互作用的绝缘体的拓扑不变量，其形式和粒子物理中出现的Wess-Zumino-Witten有效作用量类似，这也说明了拓扑绝缘体和量子场论中的反常的联系。　　 (3)对三维的拓扑超导体，我们建立了拓扑场论描述，并研究了它的物理响应。超导体和绝缘体不同，它没有守恒电荷，所以没有U(1)拓扑场论描述。我们在本文中采用引力有效理论来描述三维的拓扑超导体，包括He3-B相。与一般的Einstein-Hilbert作用量不同，我们得到的有效作用量包含一个拓扑theta项。这个拓扑项的时间反演不变性和数学中的自旋流形存在紧密联系。这个拓扑场论对应的物理响应是拓扑超导体表面的thermal Hall效应，更精确的说，我们说明了，在三维时间反演不变的超导体的Z分类中，偶数类的表面thermal Hall系数可以为零，但奇数类的thermal Hall系数一定非零，这是引力有效场论的推论。