本文研究了延迟微分方程以及脉冲微分方程精确解与数值解的性质。微分方程作为描述事物发展规律的重要的数学工具，在控制科学、生物学和物理学等很多领域有重要的应用。但是微分方程的显式解通常无法得到。这时需要借助于数值方法计算近似解。数值解的收敛性描述了在每个节点处数值解对精确解的逼近精度，而数值解的稳定性则可以刻画数值方法的抗干扰能力。因此，研究数值解的这两种性质是非常有意义的。本文介绍了延迟微分方程以及脉冲微分方程的应用背景，并回顾了延迟微分方程以及脉冲微分方程数值解的研究历史与发展现状。针对经典的线性多步法在求解分段连续型微分方程时不能保持收敛阶甚至不收敛的情况，构造了改进的线性多步法，并讨论了该方法应用于分段连续型微分方程时的收敛阶。探讨了半线性分段连续型微分方程精确解的渐近稳定性，构造了指数方法，并证明了该方法可以保持精确解的稳定性；引入了指数Runge-Kutta方法并给出了相应数值解保持半线性分段连续型微分方程精确解稳定性的条件。对于非线性分段连续型微分方程，给出了精确解渐近稳定的条件；利用Runge-Kutta方法计算数值解。对于1维的非线性系统，给出了数值解稳定的充分必要条件；对于多维的系统，采用一种新的技巧分析了数值解的渐近稳定性。对于线性脉冲微分方程，数值实验表明经典的线性多步法不能保持原有收敛阶。引入了另外一种改进的线性多步法并研究了该方法的收敛性与稳定性。对于非线性脉冲微分方程，通过变换将方程转化为不带脉冲的微分方程，给出精确解指数渐近稳定的充分条件。对于数值解，用相应于精确解的转换构造了Runge-Kutta方法的差分格式，并研究了数值解的收敛性和指数渐近稳定性。