设S是一个有限整数集，FS（θ）=Σa∈Seπia0是它的指数和。McGehee，Pigno，Smith和Konyagin已经独立地证明了，对一些绝对正实数c，不等式FS(θ)≥clog|S|成立。Littlewood首先猜测下界具有正确数量级。本文给出了指数和L1范数的一个下界，通过分析函数的性质，当n=1和n=2时，我们可以求出具体的积分值。从而可以找出一个相应的正常数使得不等式成立。然后利用复数的性质很容易可以证明一个复数的模不小于该复数实部的绝对值。我们可以构造一个函数，我们将不等式进行变形。通过构造内积和范数，再利用傅里叶级数进行处理内积和范数。由此我们可以得到一个新的不等式。原问题可以转化为求一个函数的指数和绝对值的问题。本文最关键的一步就是构造一个函数，然后利用非正支撑及函数逼近的相关知识，我们可以求出所构造函数指数和的一个下界。经过计算可以求出一个正常数。从而证明了Littlewood猜想。