在科学和工程中,很多问题的数学模型可以归结为半线性椭圆型方程或方程组。本文的主要目的是研究计算具有多项式非线性的椭圆型方程边值问题多个解的数值方法。我们吸纳了特征函数展开离散化方法、多项式方程组的同伦方法、有限元牛顿法这几种方法的优点,将这几种方法有序地组织起来安放于不同求解阶段,设计了一套计算此类椭圆型方程边值问题多解的系统方法。本文包括以下几方面内容：1.为了求带多项式非线性的椭圆型方程的多个解,我们对其采用特征函数展开离散化,我们分析了其离散误差,得到误差的H1估计和L2估计。基于离散误差估计,我们设计了一个新的过滤策略以剔除离散化方程组的可能的伪解,该策略不依赖于解的性质,同时还可以提高非伪解的精度。对于过滤后的解,我们再采用有限元牛顿法进一步提高精度。2.对于特征函数展开离散化得到的多项式方程组,当所用特征函数个数增加时,求全部解的标准同伦方法效率不高。为了快速求解某离散水平Nc上的多项式方程组,我们利用其结构,对在Nc之前的逐次加细的水平上的方程组构造形变,设计了扩张同伦算法,在前一水平上多项式方程组的全部解求得之后,后一水平上多项式方程组的全部解可以利用前一水平的全部解快速求得。我们分析了该同伦所确定路径的光滑性和可达性。3.我们证明了陈传淼和谢资清提出的一个猜想,此猜想断言,关于三次非线性椭圆型方程-△u=u3,当特征函数展开法中所采用的有限维子空间是相应于一个N重特征值的特征子空间时,离散化问题至少存在3N-1个非零实解,我们将它精确化为恰好存在3N-1个非零实解。我们研究了将此猜想的结论推广到三维三次非线性情形和二维五次非线性情形,并得到了初步结果。另外,我们还得到与此相关的二维单位方块和三维单位立方体上Laplace算子特征值的所有可能重数的结果。4.对于二维单位方块上多项式非线性椭圆型方程,我们证明了特征函数展开离散化问题的解集继承了边值问题解集的对称性。根据解集的对称性,利用已证明的陈-谢猜想和陈-谢猜想五次非线性情形的类似结果,我们分别构造了对称同伦以快速计算具有一般三次非线性和一般五次非线性的椭圆型方程的离散化多项式方程组的全部解。由于对称同伦法只需跟踪代表解路径,因而可以节省很多计算量。5.牛顿法是求解非线性代数方程组的经典方法,然而这种方法对初始猜测的要求非常高,即只具有局部收敛性。阻尼牛顿法和牛顿同伦法是两种改进牛顿法的全局化方法。从决定这两种算法所跟踪路径的微分方程的角度看,这两种方法所要偱行的相轨线是一致的,然而从算法实际执行的角度看,这两种方法所产生的迭代序列却是不同的。我们分析了阻尼牛顿法和牛顿同伦法,从迭代序列的前进方向和前进步长两方面讨论这两种方法的区别和联系。