分段连续型随机微分方程(SDEPCAs)和带Poisson测度的SDEPCAs在经济学、生物学、控制论、神经网络等领域有广泛应用。由于这两类方程精确解的显式表达式很难得到,故在实际应用中用数值方法求解方程的近似解,研究数值方法的性质具有重要的理论和实际意义。本文针对这两类方程研究数值方法的收敛性和稳定性。对于系数满足全局Lipschitz条件的SDEPCAs,研究单支θ方法的小阶矩(p∈(0,1))收敛性和稳定性。首先,分析单支θ方法在全局Lipschitz条件下p阶矩收敛;利用收敛性,进而建立方程精确解p阶矩指数稳定与单支θ方法p阶矩指数稳定的等价关系。对于漂移系数满足多项式增长条件而扩散系数满足全局Lipschitz条件的SDEPCAs,鉴于显式Euler方法不收敛,论文构造显式驯服Euler方法,考虑该方法的p(p≥1)阶矩有界性,进而分析该方法的p阶矩强收敛性,给出收敛阶。对于漂移系数和扩散系数都不满足全局Lipschitz条件的SDEPCAs,考虑隐式分裂步θ(SST)方法的强收敛性和指数稳定性。首先,研究在局部Lipschitz条件、单调条件和单边Lipschitz条件下,当θ∈[1/2,1]时,SST方法的p(p∈[1,2))阶矩强收敛性。然后,分析SDEPCAs精确解均方指数稳定的充分条件,并讨论SST方法保持方程精确解均方指数稳定的充分条件。对于系数关于延迟项满足多项式增长条件的SDEPCAs,论文再次研究SST方法的p(p≥2)阶矩强收敛性,给出该方法收敛阶达到1/2的充分条件;同时,对改进的分裂步θ(ISST)方法的稳定性进行讨论。作为SST应用于SDEPCAs结论的推广,对于带Poisson测度的SDEPCAs,构造补偿分裂步θ(CSST)方法,研究该方法的强收敛性和稳定性。首先,讨论CSST方法p(p≥2)阶矩收敛的充分条件,并考虑其收敛阶。然后,根据不同的θ取值,分析θ∈[0,1/2]和θ∈(1/2,1]时,CSST方法能够保持方程精确解均方指数稳定的充分条件。