偏微分方程反问题一直是计算数学和应用数学领域的研究热点,此类问题的难点在于它的不适定性和非线性性.在此类反问题中,由椭圆方程（Helmholtz方程或Maxwell方程组）描述的介质逆散射问题是一类重要的研究课题,其基本任务是由介质外部的散射波场的相关信息来确定介质的内部（边界）性质.当声波或电磁波在各向同性的均匀背景介质中传播时遇到某种不均匀介质或障碍物时就会发生散射现象,产生散射波.正散射问题是由已知的入射波和散射体来确定散射场,逆散射问题则是由散射场或者它的远场形式来确定散射体的一些性质,包括散射体的几何形状和边界性质等.基于波场散射的椭圆型方程的内部透射特征值问题源于非均匀介质的逆散射问题的若干近代求解方法,在因子分解方法、线性抽样法求解声波或电磁波的逆散射问题中起着至关重要的作用.具体而言,在采样法中如果入射波的频率为某种内部透射特征值,则重构算法将会失效,因而在这类方法的有效实现中要求入射波的频率不能取内部透射特征值.另一方面,内部透射特值问题与介质（障碍物）的隐身有着紧密联系,当入射声波或者电磁波的频率为内部透射特征值时,此时在介质（障碍物）外部的散射波有可能为零,这也就意味着如果基于波场散射信息来探测障碍物（这是工程领域现在广为采用的方法之一）,介质（障碍物）在这种状态下就隐身了.基于这样的现象,在实际的工程应用中,可以借助于透射特征值（由介质的物理性质决定）来指导设计隐身材料,这在基于雷达和声呐探测的飞机和舰艇的隐身等军事领域具有重大意义.特别的,我们知道可以由散射数据来决定实的透射特征值,而实透射特征值可以用来估计散射物体的折射率.因此实数特征值携带关于材料性质的一些信息可以用来量化均匀介质中存在的异常.很多情况下利用这些信息在无损检测中可以用来对材料进行测试.由于上述原因,实数透射特征值在一些最近发展的重建算法如线性抽样、分解法及近代材料科学中起着重要的作用.因此对透射特征值的研究具有明确的工程意义和物理背景.数学上,波场散射的内部透射问题可以描述为有界区域上的耦合的椭圆型方程的边值问题,一般模型是由在区域内部满足的两个物理方程（声波散射为两个Helmholtz方程,电磁场散射是两个Maxwell方程组）加上边界上满足的透射条件构成.尽管考虑的方程是标准的,但这一类问题却不能用一般的椭圆形方程的算子理论解决,根本的原因是这一类问题在算子意义的框架下既不是椭圆算子,也不是自伴算子.这样的特点导致了复数特征值的存在性及全体特征值在复平面上的分布都具有全新的特点,需要在数学上针对具体的散射问题进行系统的研究.目前学术界关于透射特征值问题的研究主要集中于以美国Delware大学F.Cakoni课题组,德国Karlsruhe大学A.Kirsch课题组和法国国家信息与自动化研究所H.Haddar课题组的相关工作.但是,总体而言,这些工作还是针对具体模型发展的一些方法,很难有一个统一的理论.基于对已有的工作的小结,本文考虑了若干散射模型的透射特征值问题,研究内容包括特征值的分布性质、实特征值的估计、特征值的存在区域估计等问题.全文共五章,具体工作包括:在第一章,对散射问题,介绍了正散射问题和逆散射问题研究的背景和应用并在此基础上阐述了本文的研究意义.给出了透射特征值问题及其一般模型的已有的重要结果和研究方法,包括用算子理论如何证明透射特征值的离散性.在最后简述了本文的主要研究内容和创新点.在第二章,研究带有腔体的声波透射特征值问题.首先由相关的散射模型导出腔体透射特征值问题的变分形式,在此基础上证明了弱解的存在唯一性,和内部透射特征值问题弱解与变分形式的解的等价性.对于带有腔体的透射特征值问题,建立了实数特征值满足的Faber-Krhn型不等式,利用解析Fredholm定理证明了透射特征值的离散性.在介质透射系数为正常数的特殊情形,建立了由最小透射特征值确定折射率的唯一性结果.最后通过对透射特征值的定量分析,证明了在透射系数的一定假定条件不存在纯虚数透射特征值,进而在透射系数的更严格的假定下给出了复平面上不存在透射特征值的一个更大区域.在第三章,研究声波散射带有混合边界条件的非均匀吸收介质透射特征值问题.通过对变换后的高阶椭圆方程的分析,得到了在一些条件下不存在纯虚数特征值.利用闭算子的扰动理论,借助于建立的非均匀非吸收介质在适当条件下一定存在无穷多个实的透射特征值的结果,证明了带有混合边界条件的非均匀吸收介质一定会存在无穷多个透射特征值并且以∞作为唯一可能的聚点.最后对于这种内部透射特征值模型,在复平面上定量分析了透射特征值不存在的区域.在第四章,研究了一类特殊的电磁波散射模型的内透射特征值问题,包括三维电磁波散射模型与简化得到的二维声波散射模型之间的关系.主要研究高振荡介质对应的电磁波内部透射特征值问题,即介质的折射率n（x）是一个具有小振荡周期ε>0的实值函数.对这种模型,由于方程系数的高度振荡性,直接数值计算内部透射特征值是不稳定的.我们采用均匀化的方法建立了近似计算实透射特征值问题的一种稳定的计算框架.研究了实数透射特征值kε和相应的特征函数（Eε,E0ε）在介质的振荡周期ε → 0时的极限行为,理论上严格证明了带有小参数的特征系统在一定意义下收敛于一个均匀化介质对应的特征系统.这一理论结果为计算具有振荡周期介质的Maxwell方程的透射特征值提供了一种有效的方法.这里的方法同样也适用于声波散射的问题.在第五章,对全文进行总结,并对未来可能开展的一些工作作了展望.本文的创新点主要有如下几方面.1,考虑腔体模型内部透射特征值问题时在腔体内部满足的物理条件区别于已有文献,除得到类似文献中透射特征值离散性和存在性结果之后,还进一步证明了最小实数特征值可以唯一确定常数折射率,以及纯虚数透射特征值的不存在性,进而在复平面上分析了透射特征值不存在的区域;2,考虑了带有混合边界条件的吸收介质的新模型的透射特征值问题,而已有工作仅考虑混合边界或者仅考虑吸收介质透射特征值的情况.推广后的新模型更加适用于现实的物理背景.3,考虑振荡介质的Maxwell方程内部透射特征值问题,这样一个新模型的特点是由于介质参数的高度振荡性,直接计算透射特征值问题是不稳定的,我们系统建立了利用均匀化理论近似计算透射特征值问题的模型,证明了两个问题特征系统的收敛性.