本论文讨论了欧氏空间中的加倍测度的胖集和瘦集,对一些具体的集类给出了判定集合是胖集和瘦集的充要条件.全文包含三大部分.　　第一部分,主要研究什么样的空间上仅支撑纯原子加倍测度,什么样的空间上不支撑纯原子加倍测度的问题.这个问题来源于Kaufman和Wu,在这篇文章中,他们证明了X上的所有加倍测度相互绝对连续的充要条件是X上仅支撑纯原子加倍测度.设X=ΕxUFx,其中Εx表示X中的聚点集,Fx表示孤立点集.主要思想就是寻找参数来刻画Fx和Εx的相对大小.通过对聚点集与孤立点集相对位置的刻画,得出以下结论:设X是直线R上的紧子集,满足:(F)x=X且Εx是完全集.如果存在{Εk}∞k=0∈21x使得对任意p>0有∑k∈zλ-pk=∞,则X上仅支撑纯原子加倍测度;设X是直线R上的紧子集,满足:(F)x=X且Εx是完全集.如果存在{Εk}∞k=0∈21x使得对任意r∈(0,1)有∑k∈zrnk<∞,则X上不支撑纯原子加倍测度.　　第二部分,主要研究直线上一类特殊的Moran集,λ-Moran集,给出了判定其是胖集和瘦集的充要条件.有以下结论:设Ε=Ε({nk},{ck,i})为一λ-Moran集.则Ε为加倍测度胖集,当且仅当对所有的01都有∑∞ k=1(1-∑nk i=1 ck,i)p=∞.　　第三部分,讨论了高维空间上集合的胖瘦问题.在加倍测度意义下,按照大小, Rn的子集可以分为六个类.这六类分别为非常胖,比较胖,有点胖,非常瘦,比较瘦,有点瘦.我们主要研究了对于[0,1]n的加倍测度而言,n个[0,1]上的子集的乘积集在什么情况下分别属于VF,FF,MF,VT,FT,MT?对于上述问题我们有如下结果:设Ε1,…,Εn为[0,1]中的任意n个Lebesgue零测子集.则:Ε1×…×Εn∈VT当且仅当存在i使得Εi∈VT;Ε1×…×Εn∈MT当且仅当对任意的i都有Εi∈MT.设Ε1,…,Εn为[0,1]中的任意n个Lebesgue正测子集.则:如果Ε1×…×Εn∈VF那么对任意的i都有Εi∈VF;如果存在??使得????∈MF,那么Ε1×…×Εn∈MF.不知道上述定理中的两条结论的另外一边对于一般集合的乘积集是否正确,但对于均匀康托集是正确的,有如下结论:设Ε1,…,Εn为[0,1]中具有正的Lebesgue测度的均匀康托集.则:Ε1×…×Εn∈VF当且仅当对任意的i都有Εi∈VT;Ε1×…×Εn∈MT当且仅当存在i使得Εi∈MF.