【摘 要】
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本文详细给出Graham-Lee关于Einstein度量的边值问题存在性结果[1]的证明,并且叙述Qing关于唯一性结果[2]的证明。关于边值问题,我们知道共形紧Einstein流形在物理中Ads/CFT对应中起到重要作用,而在数学上研究开始于Fefferman和Graham,问题也来自于这篇文献[3],研究对象为共形紧致的Einstein度量,边界条件为边界度量属于一个共形类:共形无穷远;我们将
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本文详细给出Graham-Lee关于Einstein度量的边值问题存在性结果[1]的证明,并且叙述Qing关于唯一性结果[2]的证明。关于边值问题,我们知道共形紧Einstein流形在物理中Ads/CFT对应中起到重要作用,而在数学上研究开始于Fefferman和Graham,问题也来自于这篇文献[3],研究对象为共形紧致的Einstein度量,边界条件为边界度量属于一个共形类:共形无穷远;我们将在球体Bn+1及其边界流形为（Sn,h）,其中h为标准球面度量,下讨论边值问题的解的存在性,所使用的主要定理为Banach空间之间的反函数定理,所以最终得到的结果为边界度量与h在相应范数下充分靠近时有解的存在性;文中也将为满足反函数定理的条件进行构造与讨论,证明解的存在性时所利用的主要结果为正规化Einstein算子的渐近性及一致退化的椭圆算子的同构性定理;注意到由于Einstein方程为非线性方程,所以文中为此要使用Deturck trick以及求其的线性化,又由于方程在边界的退化性,所以要讨论渐近性,而渐近性又可以帮助我们构造反函数定理中的Banach空间;关于同构性,自然的是为了满足反函数定理的条件,值得注意的是由于同构性定理的条件要求,最终的存在性定理在正则性方面会随维数产生不同的结果。我们将在这些部分使用到经典的椭圆PDE理论,比如:L2理论中弱解的第二存在性定理及正则性定理,Schauder估计,流形上的极值原理;只是在本文中所采用的范数及Schauder估计都与经典的有所不同,由于现在的算子为一致退化椭圆算子,所以我们要使用经典估计对这个算子的估计进行修正。关于唯一性,我们证明3≤n≤6维的共形紧且具有共形无穷远为（Sn,h）的Einstein流形就是经典的双曲空间（Bn+1,h）,其中h为标准双曲度量。使用的的主要定理为正质量定理,证明基于特征函数的构造及利用特征函数得到的紧化;而关于函数构造,我们将使用到文献[4]中的度量展开及相对于上述同构性定理更一般的结论。
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