近年来,分数布朗运动作为布朗运动的扩展形式已经引起越来越多人们的关注,它既不是半鞅,又不是马尔科夫过程,因此我们不能用经典的随机分析来讨论它.分数布朗运动具有自相似性和长期依赖性等重要性质,它能更确切地刻画一些事物的内在特性,因此,分数布朗运动在金融、经济、物理、化学、生态、航天等领域有着重要的应用.本文主要研究分数布朗运动及其相关过程在倒向随机微分方程和金融衍生品定价中的应用,首先研究多维分数布朗运动驱动的倒向随机微分方程的解,通过构造一个压缩映射,用拟条件期望和不动点原理,证明解的存在唯一性.接着研究分数布朗运动的相关过程即混合分数布朗运动、带跳分数布朗运动和带跳混合分数布朗运动在金融衍生品定价中的应用.下面将介绍论文的主要研究内容和创新之处.第一章,介绍了研究背景以及第二章至第六章中研究的主要问题.第二章,介绍了一维情形下分数布朗运动与本文相关的一些重要结果,为本文的研究打下坚实的基础.例如：分数Ito公式,拟条件期望,拟鞅,Girsonov定理等,接着研究了分数布朗运动在可分离债券定价中的应用.本章的创新之处：考虑了股票的稀释因子,用公司价值的波动率来对可分离债券进行定价,改善了传统用股票价格波动率得到的结果.第三章,首先回顾多维分数布朗运动的Ito公式,接着给出多维分数布朗运动的拟条件期望定义,并讨论了它的一些性质.在一些基本假设下,利用拟条件期望和不动点原理,得到了多维分数布朗运动驱动的倒向随机微分方程解的存在唯一性,最后研究了多维分数布朗运动驱动的线性倒向随机微分方程解的存在唯一性.本章的创新之处：考虑的倒向随机微分方程由一个分数布朗运动驱动的扩展为由多维分数布朗运动驱动的,且终端条件的自变量由一维扩展为多维.本章来源于：Miao J., Yang X., Solutions to BSDEs driven by multidimensional fractional Brow-nian motions,已被Mathematical Problems in Engineering接收.第四章,研究了混合分数布朗运动下期权的定价.假设标的资产的价格服从由混合分数布朗运动驱动的随机微分方程,期望收益率和波动率都是时间t的确定性连续函数,利用拟条件期望和概率公式得到欧式期权更一般的定价模型,从而扩展了传统模型.接着我们在混合分数布朗运动环境下研究交换期权的定价,分别假设标的资产价格满足带有常数参数和时变参数的由混合分数布朗运动驱动的随机微分方程,得到相应的交换期权定价模型.为了更好地理解此模型,我们以欧式期权的定价模型为例,讨论期权价格对各个参数变化的敏感性,通过数值实验比较了我们模型和传统模型的理论值,并进一步实验了期权价格与赫斯特指数和系数ε之间的关系.本章的创新之处：(1)将标的资产价格的期望收益率和波动率由常数扩展为时间的确定性连续函数,得到了更一般的欧式期权的定价模型.(2)研究交换期权的定价时,将分数布朗运动驱动的金融市场扩展为由混合分数布朗运动驱动的.(3)本章理论研究和数值实验相结合.本章来源于：Miao J., Pricing models for options in a mixed fractional Brownian motion environ-ment,已完成.第五章,研究了带跳分数布朗运动的随机积分及应用.首先证明了带跳分数布朗运动的Ito公式,接着给出带跳分数布朗运动的拟条件期望定义,并推导了带跳分数布朗运动的Girsanov定理.最后,将带跳分数布朗运动应用到欧式期权定价,假设标的资产价格满足由带跳分数布朗运动驱动的随机微分方程,用拟鞅方法,得到了带跳分数布朗运动下期权的定价模型.本章的创新之处：(1)证明了带跳分数布朗运动的Ito公式,扩展了分数Ito公式.(2)推导了带跳分数布朗运动的Girsanov定理,扩展了分数Girsanov定理.(3)将期权的定价环境扩展为由带跳分数布朗运动驱动的金融市场.本章来源于：Miao J., Yang X., Stochastic calculus for fractional Brownian motion with Poisson jumps and application,已投稿.第六章,研究了带跳混合分数布朗运动下可转换债券的定价.首先给出带跳混合分数布朗运动的Ito公式,接着假设标的资产满足由带跳混合分数布朗运动驱动的随机微分方程,用风险中性定价原理和拟条件期望,得到了可转换债券的更一般的定价模型.然后讨论了可转换债券的价格关于各个参数变化的敏感性以及参数的估计方法,通过数值实验将带跳混合分数布朗运动下可转换债券定价模型与传统定价模型所得到的理论值进行比较,得到由我们模型计算的可转换债券的价格大于传统模型所计算的价格,并作图分析了可转换债券价格与跳参数和赫斯特指数之间的变化关系.本章的创新之处：(1)通过定价环境的改变,得到了可转换债券更一般的定价模型.(2)理论研究和数值实验相结合,对定价模型进行更好地分析.本章来源于Miao J., Yang X., Pricing model for convertible bonds in a mixed fractional Browni-an motion with jumps environment,已被East Asian Journal on Applied Mathematics接收.第七章,对本文的研究进行总结,并提出了将来可能的研究方向.下面是本文的主要研究结论.第二章分数布朗运动的随机积分及应用本章首先回顾了分数布朗运动的随机积分,在这个基础上,假设公司价值满足由分数布朗运动驱动的随机微分方程,得到了一个更符合实际的可分离债券的定价公式,在此模型当中,考虑股票的稀释因子,用公司价值波动率代替传统的股票价格波动率.这一章的主要结论如下：定理2.3.1.假设公司价值满足随机微分方程则在风险中性市场中,可分离债券在任意时刻t(t[0,T1])的价格Pt可以表示为其中N(·)是标准正态分布函数.公司价值波动率与股票价格波动率之间的关系如下：将上式代入定理2.3.1中,得到下面重要定理定理2.3.2.在风险中性市场中,可分离债券在任意时刻t(t∈[0,T1])的价格Pt可以表示为下面非线性微分方程第三章 多维分数布朗运动驱动的倒向随机微分方程的解本章研究了多维分数布朗运动驱动的更一般的倒向随机微分方程的解,通过构造一个压缩映射,用拟条件期望和不动点原理,证明了解的存在唯一性.这一章的主要结论如下：定义3.2.1.(拟条件期望)随机变量F∈L2(Ω,F,P)关于带有赫斯特指数为Hj的分数布朗运动的拟条件期望被定义为其中设G∈L2(Ω,F,P),因为BtHj,j=1,…,m是相互独立的分数布朗运动,由定义3.2.1,我们得到定理3.2.2.设和G=9(ηT),其中ηT=(η1(T),…,ηn(T)).假设对任意的s∈[0,T],σij(s),i=1,···,n,j=1,…,m是可测的,且对令At=(Aij(t))是-个n×n-矩阵,其中如果F≥G几乎处处成立,则且考虑下面的倒向随机微分方程：其中这里BsH1,…,BsHm是相互独立的分别带有赫斯特指数为H1,…,Hm的分数布朗运动.假设(H1)xi(0),i=1,…,n是给定的常数.(H2)对i=1,…,n,bi：[0,T]-→R是确定性连续函数.(H3)对i,j=1,…,n,k=1,…,m,σik：[0,T]→R是确定性连续函数,且[d/dt<σik,σjk>k,t]]>0,其中(H4)对i=1,…,n,j=1,…,m,其中σij(t)=∫0t(t,r)σ(r)dr.(h5)g(x)是关于x的连续可微函数且满足多项式增长.(H6)f(t,z,y,z)是一个关于t一阶连续可微关于x,y,z二阶连续可微的函数,因此,存在一个常数L>0,使得对所有的t∈[0,T],x∈R,y,y’∈R,z,z’∈Rm,我们有定理3.3.1.如果方程(3.25)有一个解u(t,x),这个解关于t一阶连续可微,关于x二阶连续可微,则引理3.3.1.设a(s,x),θj(s,x),j=1,…,m是关于t连续和关于x连续可微的函数,且满足多项式增长条件.假设(H3)成立,如果则定理3.3.2.假设(H3)成立,并设方程(3.22)有下面形式的解(yt=u(t, xt),z1,t=v1(s,xs),,z1,t=vm(s,xs)),则定理3.3.3.假设(H5)-(H6)成立,设yt=φ(t,xt)和z1,t=φ1(t,xt),…,zm,t=φ。(t,xt)∈C,则方程(3.28)的解(Yt,Z1,t,…,Zm,t)满足Y,Z1,.,…Zm,.∈VT.定理3.3.4.假设(H1)-(H6)成立,则倒向随机微分方程(3.22)在VT中有唯一解.定理3.4.1.设αt,βt,γi,t,i=1,…,m是给定的连续适应过程,且ζ∈FT.假设其中bi,r=γi,r+∫0rDτHiβsds.则(3.40)的解存在唯一.而且,我们有第四章 混合分数布朗运动下期权的定价假设标的资产价格过程满足由混合分数布朗运动驱动的随机微分方程,利用拟鞅和随机概率的方法,得到了更一般的欧式期权和交换期权的定价模型.并通过数值实验,比较了混合分数布朗运动下期权定价模型与传统模型的理论值.这一章的主要结论如下：定理4.1.2.(混合分数Ito公式)设1/2<H<1,令其中Xo为常数,9满足满足设F∈C1,2([0,T]×R)存在有界的二阶偏导数,则对任意t∈[0,T],有其中DsXs表示关于布朗运动的Mallivan导数,DsHXs表示关于分数布朗运动的φ一导数.特别地,当9和f为确定性函数时,则其中定理4.2.1.对任意t∈[0,T]和σt是时间t的确定性连续函数,有定理4.2.2.设函数f满足E[f(BT,BTH)]<∞,则对任意t∈[0,T]和σt是时间t的确定性连续函数,则定理4.2.3.设函数f满足E[f(BT,BTH)]<∞,令则对任意t∈[0,T],有定理4.2.4.任意有FT可测的未定权益F∈L2(Ω,FT,Q)在任意时刻t∈[0,T]的价格为定理4.3.1.假设股票价格满足随机微分方程则在风险中性概率测度下,欧式上涨期权在任意时刻t∈[0,T]的价格C(t,St)为其中N(·)为标准正态分布函数.推论4.3.1.在定理中,当rt=r,σt=σ都为常数时,则欧式上涨期权在任意时刻t∈[0,T]的价格为其中定理4.4.1.假设资产价格满足方程则在风险中性概率测度下,交换期权在任意时刻t∈[0,T]的价格P(t,母,St2)为其中N(·)为标准正态分布函数.定理4.4.2.假设资产价格满足方程则在风险中性概率测度下,交换期权在任意时刻t∈[0,T]的价格P(t,母,St2)为其中N(·)为标准正态分布函数.第五章 带跳分数布朗运动的随机积分及应用本章首先证明了带跳分数布朗运动的Ito公式,接着推导了带跳分数布朗运动的Gir-sanov定理.最后,假设标的资产价格满足由带跳分数布朗运动驱动的随机微分方程,用拟鞅方法,得到了带跳分数布朗运动下的期权定价模型.这一章的主要结论如下：定理5.2.1.(一维Ito公式)设其中X0是常数,as,βs和γs(z)是可测过程,使得对所有的t∈[0,T],有设f：[0,T]×R→R是属于C1,2([0,T]×R)且存在有界的二阶偏导数的函数,则定理5.2.2.(多维It6公式)给定一个J-维独立的分数布朗运动BtH=(BtH1,…,BtHJ)T,t∈[0,T],和K维独立的补偿Poisson随机测度N(dt,dz)=(N1(dt,dz1),…,Nk(dt,dzK))T,t∈ [0,T],z=(z1…,zK)∈RK令其中α：[0,T]→Rn,β：[0,T]→Rn×J,且γ：[0,T]×RK→Rn×K是可测过程,使得对任意t∈[0,T],i=1,…,n积分存在,即且满足其中设f：[0,T]×Rn→R是属于C1,2([0,T]×Rn)且存在有界二阶偏导数的函数.则其中γs(k)是n×K矩阵γ=[γik]的第k列,γs(ik)是γs(k))的第i行对应的随机变量R定理5.3.4.(Girsanov定理)设T>0,θ(s,z)≤ 1,s∈[0,T],z∈R是可测过程,ζ是一个连续函数且suppζ(?) [0,T],u是一个函数且suppu (?) [0,T],使得对任t∈[0,T],任意f∈S(R)且supp f(?)[0,T],有令且满足E[Z(T)]=1.假设Z(T)满足Novikov条件在FT上定义新概率测度Q为定义过程BQ(t)和随机测度NQ(dt, dz)分别为和则BQH(·)是关于(Ft,Q)的分数布朗运动,NQ(·,·)是NQ(·,·)的关于(Ft,Q)的补偿Poisson随机测度.定理5.4.2.假设标的资产的价格St满足：其中Nt=Nt-λt.设p=E[U],则则欧式上涨期权在任意时刻t(t∈[0,T])的价格V(t)可以表示为其中ε。表示Πi=1n(1+Ui)的分布期望算子,N(·)是标准正态分布函数.第六章 带跳混合分数布朗运动下可转换债券的定价本章假设标的资产满足由带跳混合分数布朗运动驱动的随机微分方程,用风险中性定价原理和拟条件期望,得到了可转换债券更一般的定价模型.接着讨论了可转换债券的价格关于各个参数变化的敏感性.通过数值实验将带跳混合分数布朗运动下可转换债券的定价模型与传统定价模型所得到的理论值进行比较.这一章的主要结论如下定理6.1.1.(Ito公式)设其中X0是常数,αs,βs和γs(z)是确定性函数,使得对所有的t∈[0,T],有设f：[0,T]×R→R是属于c1,2([0,T]×R)且存在有界的二阶偏导数的函数,则定理6.2.3.股票的价格St满足微分方程则带有面值F和转换价格Gv的可转换债券的价格V(t,St)在任意时刻t∈[0,T]可以表示为其中定理6.3.1.设V=V(t,St)是可转换债券在时刻t∈[0,T]的价格,由定理6.2.3,一般参数的影响可以表示为注6.1.由定理6.3.1,我们容易得到△≥0，Γ≥0,▽F≥0,▽Cv≤0,vσ≥0和ρr≤0,因此,可转换债券的价格是St,F和σ的增函数,是Gv和r的减函数.Γ≥0说明在投资组合中,投资于风险资产的比例随着风险资产价格的增大而增大.定理6.3.2.假设V=V(t,St)是可转换债券在时刻t∈[0,T]的价格,由定理6.2.3,赫斯特指数的影响可以表示为注6.2.由定理6.3.2,我们容易得到(?)V/(?)H≥0,因此可转换债券的价格随着赫斯特指数的增大而增大.定理6.3.3.设V=V(t,St)是可转换债券在时刻t∈[0,T]的价格,由定理6.2.3,跳参数的影响可以表示为从图6.1我们可以看出可转换债券的价格是参数λ,μU和σU的增函数.