轨道的渐近性质是动力系统研究的核心内容。本世纪以来,人们对β-变换动力系统中的上极限集进行了大量的研究,如收缩靶问题和覆盖问题等,但下极限集的结果还比较少。本文研究β-展式中下极限型集合的维数理论,围绕其中的distal性来开展研究,得到以下两方面的结果:1)完全刻画了与给定点轨道形成不同运动形态的点组成的集合的度量和维数结果。设y∈[0,1),考虑分解（?）,其中（?）,即y的distal对组成的集合。ASβ（y）为y的asymptotic对集,LYβ（y）为其Li-Yorke对集。我们给出了这三种集合的Lebesgue测度和Hausdorff维数,如Dβ（y）总是满维的。我们又沿着两条不同的思路对该结果进行了推广。一方面通过Schmidt游戏构造合适的子集,再结合β-展式中的逼近方法证明了Dβ（y）总是winning集。另一方面,研究了一类更广泛的集合（?）这里{yn}n≥0（?）[0,1),即轨道避开一列点,当yn＝Tβn（y）时即为Dβ（y）。我们证明了Dβ（{yn}）总是满维的。2)得到了二维distal对集的Lebesgue测度和Hausdorff维数。Spacing移位系统是符号空间的一类子移位系统,我们得到该系统中的不可很好逼近集及给定点的distal集的维数结果。