本文主要研究有界失真映射在几何和分析上的性质。经典的Schwarz—Pick引理和Liouville定理已经被推广到几何上满足一定条件的流形之间的映射上。出发流形的曲率有下界，目标流形的曲率为负的有界失真映射的Schwarz和Liouville形式的结果已经有十分广泛的研究。本文的结果可以看成是Liouville定理在正曲率目标流形上有界失真映射的推广。这个证明用到了几何上著名的Bochner技巧，随后又证明了Hermitian流形上的Bochner公式并且用这个技巧研究了调和映射的解析性。　　 本文共分三章，第一章是预备知识，先介绍共形映射，G—共形线性变换，弱K—拟正则映射的调和公式等。然后详细介绍有界失真映射的发展，以及推广的Schwarz—Pick引理和Liouville定理的现状，包括拟正则映射的Liouville定理。最后给出了复几何上的一些知识，主要包括Hermitian复流形上的曲率，Hermitian向量丛上的曲率和诱导的联络与曲率等。　　 第二章研究流形间的有界s—失真映射(mappings of bounded s—distortion)，证明这类映射也具有推广的Liouville定理的性质。