【摘 要】
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分数阶对流扩散方程是一类重要的数学模型,它常用于描述反常扩散的或非指数松弛的复杂系统中的传输过程.本文为一类时间多项分数阶对流扩散方程构造了一种时空有限元全离散格式,并提出了一种高效的自适应代数多重网格(AMG)法.首先,在时间和空间维度上均采用线性有限元方法,所得全离散格式的系数矩阵为并证明:(1)AAhτn是M矩阵,且当空间步长h≤1/7时,其行和具有正下界;(2)当β不小于某个正常数时,Ah
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分数阶对流扩散方程是一类重要的数学模型,它常用于描述反常扩散的或非指数松弛的复杂系统中的传输过程.本文为一类时间多项分数阶对流扩散方程构造了一种时空有限元全离散格式,并提出了一种高效的自适应代数多重网格(AMG)法.首先,在时间和空间维度上均采用线性有限元方法,所得全离散格式的系数矩阵为并证明:(1)AAhτn是M矩阵,且当空间步长h≤1/7时,其行和具有正下界;(2)当β不小于某个正常数时,Ahβ也是M矩阵,且当h ≤ 1/7时,行和也有正下界；(3)Ahτn 在某些情形下也是M矩阵.其次,给出了条件数估计式κ(Ahτ n)(?)1+τnα0h-2γ.若τn=O(h(?))且(?)α0≥2γ,则κ(Ahτn)=O(1);证明了两水平经典AMG法的一致收敛性,且在某些情形下,设计了具有最优计算复杂度的AMG法;另外,基于条件数估计式,还给出了 一种运算效率更高的自适应AMG法.最后,通过多个数值算例,验证了L2(Ω)意义下时空有限元全离散格式具有饱和误差阶、条件数估计式的正确性,以及自适应AMG法比共轭梯度法、经典AMG法更加稳健且高效.
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