分数阶微积分是经典的整数阶微积分的推广。作为分数阶微积分的应用领域之一，分数阶系统正吸引着越来越多的研究者投身其中。分数阶系统不仅拓展了传统的整数阶系统理论，而且作为优秀的工具能够更好地描述大量的实际过程。近来，分数阶微积分被引入到非线性系统的稳定性分析，并且关于分数阶非线性系统稳定性的研究已经出现，但是数量十分有限。需要指出的是，单纯地检验系统的特征方程，通过寻找占主导地位的根或使用其它代数方法的方式来判别分数阶动态系统的稳定性十分困难。此外，尽管许多整数阶系统的稳定性理论是通过构造Lyapunov泛函得到的，但是Lyapunov直接方法不能简单地推广到分数阶情形。因此，分析分数阶非线性系统的稳定性是一项艰巨的任务。稳定性是分数阶神经网络一个非常基本又十分重要的问题。由于分数阶微积分的高度复杂性，分数阶神经网络的稳定性只在近期的一些文献中进行了讨论和研究。因此，对分数阶神经网络的稳定性进行分析是迫切需要的、有意义的。针对研究现状，本文主要做了如下工作：本文首先对含Caputo定义、阶次为：0<1的一类分数阶非线性系统的稳定性进行了讨论，结合Gronwall不等式和分数阶微积分的性质，证明了一个此类分数阶非线性系统的稳定性定理，并根据稳定性定理推导了相应的线性状态反馈控制器设计方法。数值实验验证了设计方法的有效性。其次，对含Caputo定义、阶次为：1<2的一类分数阶非线性系统的稳定性进行了研究，结合Gronwall不等式和分数阶微积分的性质，给出了一个此类分数阶非线性系统的稳定性定理，并依据稳定性定理推导了相应的线性状态反馈控制器设计方法。数值实验验证了设计方法的正确性。再次，使用Banach不动点定原理和分析技巧研究了一类分数阶神经网络的解的稳定性和解的存在唯一性，提出了一个带多时滞常系数分数阶神经网络的解的一致稳定性和解的存在唯一性的充分条件。最后，结合Banach不动点定原理和分析技巧，研究了一类变系数带多时滞的分数阶非自治系统的解的一致稳定性和解的存在唯一性。