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这是一篇关于Calabi-Yau代数的扩张与形变的博士学位论文.自从数学家丘成桐(Yau Shing-Tung)证明Calabi猜想后,Calabi-Yau流形成为数学(主要是微分几何)和理论物理主要的研究对象.在上世纪九十年代,数学家M. Kontsevich提出同调镜像对称猜想.此后,Calabi-Yau范畴和Calabi-Yau代数更多的出现在代数几何,代数拓扑,非交换几何,超弦理论等数学和物理的许多分支中,并日益显示出其重要价值.本文主要研究Calabi-Yau代数的形变和扩张,包含以下三个方面的内容.1.利用分次代数的分次自同构的同调行列式(见[JoZ]或本文第三章第一节),我们考察了分次Calabi-Yau代数的斜群代数的Calabi-Yau性质.主要证明了对p-Koszul Calabi-Yau代数A及其自同构群的有限子群G,斜群代数A#G是Calabi-Yau代数当且仅当群G中元素的同调行列式均等于1.这个结果是特殊线性群的有限子群在多项式代数作用得到的斜群代数是Calabi-Yau代数的推广利用p-Koszul代数的Yoneda Ext代数上的A∞-代数结构,证明了任意p-Koszul Calabi-Yau代数均由超势诱导.并在此基础上构造了斜群代数A#G的超势.推广了[BSW]中关于Koszul Calabi-Yau代数以及多项式代数的斜群代数的结果.2.更一般地,如果Hopf代数在Calabi-Yau代数上有一个作用,我们讨论了由此得到的smash积的Calabi-Yau性质.利用Hopf代数在Artin-Schelter Gorenstein代数上的作用的同调行列式的概念(见[JoZ]或本文第四章第一节),将以上关于斜群代数的结果推广到冲积的情况,证明了以下结果：设H是对合的Calabi-Yau Hopf代数,A是p-Koszul Calabi-Yau代数并且是左H-模代数.则A#H是Calabi-Yau代数当且仅当H在A上的作用的同调行列式是平凡的.并且构造了当H是半单Hopf代数时,Calabi-Yau代数A#H的超势.3.最后,我们讨论以下两类问题(1) Koszul Calabi-Yau代数的中心正则扩张的Calabi-Yau性质；(2) Koszul Calabi-Yau代数PBW形变的Calabi-Yau性质.利用Rees代数的方法以及中心正则扩张和PBW形变之间的关系[CS],我们得到了Koszul Calabi-Yau代数的PBW形变及中心正则扩张是Calabi-Yau代数当且仅当Jacobi-型等式满足.上述结果部分推广了R. Berger和R. Taillefer关于3-维Calabi-Yau代数的PBW形变的Calabi-Yau性质的结果[BT].将上述结果应用到有限维李代数的泛包络代数和Sridharan包络代数,重新证明了J. W. He, V. van Oystaeyen和Y. H. Zhang的结果[HOZ1].