【摘 要】
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紧致黎曼流形（带边或不带边）和非紧致完备黎曼流形上Laplace算子谱性质的研究是黎曼几何中的重要课题.Steklov特征值问题是Stekloff于1902年提出的,有深厚的的物理背景,在流体力学、电磁学等有广泛的实际意义,一直受到研究者的关注.而Wentzell特征值问题作为Steklov特征值问题的一个自然的拓展,近年来也广受关注.本文主要研究了这两类特征值问题的特征值比较定理以及几类不同特征
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紧致黎曼流形（带边或不带边）和非紧致完备黎曼流形上Laplace算子谱性质的研究是黎曼几何中的重要课题.Steklov特征值问题是Stekloff于1902年提出的,有深厚的的物理背景,在流体力学、电磁学等有广泛的实际意义,一直受到研究者的关注.而Wentzell特征值问题作为Steklov特征值问题的一个自然的拓展,近年来也广受关注.本文主要研究了这两类特征值问题的特征值比较定理以及几类不同特征值问题的特征值估计.具体地,主要研究了以下三方面的内容:1)任意给定n-维（n≥2）完备黎曼流形,如果该流形在其上某一点有径向截面曲率上界.维数n=2,3,那么在该点的割迹内,以该点为球心的测地球上Laplace算子的第一非零Steklov特征值能够被（由径向截面曲率上界决定的）球对称流形里以基点为球心、具有相同半径的测地球上Laplace算子的第一非零Steklov特征值从上控制住,并且两个Steklov特征值相等当且仅当两个测地球是等距的.对于维数n≥4的情形,在原先径向曲率的假设下,如果进一步地,测地球面的Laplace算子的第一非零闭特征值满足一个谱不等式的假设,那么原先关于第一非零Steklov特征值的谱比较结论仍旧是成立的.以上这些结论拓展了知名几何学家J.F.Escobar教授经典的谱比较定理（详见文献[39,Theorem1,Theorem2]）.正是因为如此,我们称上述关于Laplace算子的第一非零Steklov特征值的谱比较以及相应的刚性结论为“Escobar-型特征值比较定理”.上述Escobar-型特征值比较定理自然是重要的,它告诉我们可以通过改变径向截面曲率来达到改变Laplace算子的第一非零Steklov特征值的目的,并且还有刚性的刻画,这深刻地揭示了曲率同算子的谱之间的紧密联系.在推导Escobar-型特征值比较定理时,我们还给出了度量测度空间里有界区域上带权Laplace算子的第一非零Wentzell特征值的下界估计和最优的上界估计.特别地,当取到最优上界时,该区域等距于球体.2)基于Escobar-型特征值比较定理证明过程中的径向测试函数,利用变分原理,在一定的假设条件下,证明了一个第一非零Wentzell特征值的Escobar-型比较定理,并且得到了取得最优的界时的刚性定理.另外,我们导出了带权Laplace算子的Reilly型公式,并且在一定的曲率假设下,利用该公式给出了紧致带边光滑度量测度空间上具有凸位势的带权Laplace算子的第一非零Steklov特征值的最优下界,该下界能够被取到当且仅当该区域是半径固定的球体.该下界估计以及相关刚性对Escobar猜想（详见文献[38]）进行部分解答.3)给出了紧致无边的光滑流形上的带权Laplace算子的闭特征值问题的一个Reilly型积分不等式,并证明了当外围空间为球面时的刚性结论,推广了Du-Mao-Wang-Xia的结论（详见文献[35,Theorem1]）.
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