【摘 要】
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微分方程数值解法一直是数学及相关领域的重要研究方向,近几十年来,基于有限差分、有限元的各种计算方法求解微分方程的研究不断有新的进展。近年来,基于支持向量机、人工神经网络等方法求解微分方程的研究日益增多,取得了一些研究成果。本文以最小二乘支持向量机（LS-SVM）方法为基础,研究微分方程正反演问题的计算。本文的主要工作如下:（1）在LS-SVM框架下讨论高阶线性常微分方程以及非线性常微分方程的求解。
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微分方程数值解法一直是数学及相关领域的重要研究方向,近几十年来,基于有限差分、有限元的各种计算方法求解微分方程的研究不断有新的进展。近年来,基于支持向量机、人工神经网络等方法求解微分方程的研究日益增多,取得了一些研究成果。本文以最小二乘支持向量机（LS-SVM）方法为基础,研究微分方程正反演问题的计算。本文的主要工作如下:（1）在LS-SVM框架下讨论高阶线性常微分方程以及非线性常微分方程的求解。对于线性常微分方程问题,可转化为求解相应优化问题,利用拉格朗日乘子法以及最优性条件得到代数方程组,通过求解线性方程组得到原问题的近似解。对于非线性常微分方程,通过添加未知量使得约束线性,将原问题转化为优化问题,最终得到非线性离散方程组,非线性离散方程组的求解通过牛顿-迭代法实现。（2）研究二维、三维发展型偏微分方程的LS-SVM数值解法。对于二维发展型偏微分方程,分别讨论了边界规则区域、不规则区域以及非线性偏微分方程情形。利用LS-SVM方法将偏微分方程的求解转化为相应优化问题的求解。在处理不规则区域问题时,对区域进行离散的方法与规则区域问题不同,得到不同的优化问题和离散方程组。求解非线性偏微分方程时,通过添加未知量使得约束线性,转化为优化问题,然后推导得到离散方程组的具体格式。（3）研究二维扩散方程初始条件反演问题的LS-SVM方法。首先,利用边界条件构造未知函数近似解的表达式,将反问题转化为优化问题,其次基于LS-SVM方法推导得出离散方程组,然后求解方程组得到反问题的近似解,求出初始条件的数值解。最后对算法的稳定性与收敛性进行分析说明,并通过数值算例说明该方法的有效性。
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