近年来由于社会学、医学、生物学、金融学等自然学科和边缘学科的发展,许多问题往往可以归结为差分微分方程的数学问题.例如晶格中的粒子振动、电网中的电流、生物链中的脉冲等.另外,随着电子计算机的发展,有些微分方程可以离散化,从而形成差分微分方程,然后再借助计算机进行计算和数值分析,因此差分微分方程在非线性偏微分方程的数值模拟、排队问题和固体状态的离散化以及量子物理中也起着重要的作用.关于差分微分方程的研究最早可以追溯到二十世纪五十年代,Fermi,Pasta和Ulam等人对著名的Fermi-Pasta-Ulam问题的研究.自那时起,差分微分方程成为许多非线性研究的焦点,受到了国内外学者的广泛关注.差分微分方程与全离散的差分方程不同,它是半离散的,即某些或全部空间变量是离散的,而通常时间变量是连续的,因此研究方法与传统经典的微分方程和差分方程有着本质的不同Yamilov,Cherdantsev,Shabat等一批学者对差分微分方程进行了深入的研究,主要包括可积性准则,计算守恒密度,广义对称法,形式对称法,递推算子等.本篇论文主要利用直接法及广义对称法研究一类Volterra型差分微分方程的守恒密度.全篇主要结构如下,第一章将简单介绍差分微分方程的研究背景以及本文的主要结果；第二章主要介绍两种研究差分微分方程的方法：广义对称法,形式对称法,以及相关结果；第三章中,我们将对一类Volterra型差分微分方程的守恒密度作系统的研究,主要结果如下考虑如下Volterra型差分微分方程其中p(un)是关于un的多项式.利用移位算子D,方程(1)可简化为,首先,我们考虑方程(2)形如ρ=p(u)的守恒密度,得到如下定理.定理0.1是方程(2)的守恒密度.其次,我们考虑方程(2)形如ρ=ρ(u,Du),且(?)2ρ/(?)u(?)≠0的守恒密度,得到如下定理.定理0.2方程(2)存在形如ρ=ρ(u,Du)的守恒密度当且仅当deg p(u)≤2,其中deg p(u)是多项式ρ(u)的次数.根据定理0.2我们知道,当deg p(u)>2时,方程(2)不存在形如ρ=ρ(u,Du)的守恒密度.进而,我们有下面结论.定理0.3设p(u)=au2+bu+c,a≠0如果方程(2)存在形如ρ=ρ(u,Du)的守恒密度,那么相对应的流其中α,β,γ,δ是任意常数,当deg p(u)=1时,文献[2,4]已给出方程(2)的守恒密度以及相对应的流.最后,利用Hickman[29]的方法,考虑方程(2)形如ρ=ρ(Dpu,Dp+1u,…,Dqu)的守恒密度.定理0.4如果ρ=ρ(Dpu,Dp+1u,…,Dqu)是方程(2)的守恒密度,那么ρ满足其中p,q是自然数,p1,φ是未知函数.