张量方程在计算科学与工程应用领域中扮演着重要角色,例如,在连续力学与工程中,各向同性和各向异性弹性可以通过基于Einstein积的张量线性系统来描述;在生物科学中,多个基因的相互作用可以转为化求解张量线性系统的稀疏解问题;另外,某些高维偏微分方程的离散形式可以表示为基于张量-向量积的多重线性系统.鉴于张量方程如此广泛的应用,如何有效地求解张量方程具有十分重要的理论意义和实际应用价值.本文主要研究张量线性系统和多重线性系统的求解问题.具体包括以下内容:第一章简要介绍了本文的研究背景和意义,概述了论文的主要内容和创新之处.第二章回顾了张量相关的基本概念、运算及其基本性质,较为详细地介绍了张量链分解、经典的ADMM法和Levenberg-Marquardt(LM)法.第三章研究了基于Einstein积的张量的可逆性判定及其在求解张量线性系统和张量特征值问题中的应用.为此,引入了张量的初等变换、张量的展开秩和张量的展开行列式,得到了判断张量可逆性的一些充分必要条件,同时给出了求逆张量的初等变换法和基于新的张量行列式的具体表达式.进一步,利用张量的展开秩,得到了判断张量线性系统可解性的充分必要条件,并利用张量的初等变换,得到了求解此类张量方程的消元法;最后,基于新的张量行列式,建立了求解张量线性系统的Cramer法则,结合上述消元法,从理论上解决了香港理工大学祁力群先生提出的一类张量特征值问题.这些结果可以看作是数值线性代数中相应结果的推广.第四章进一步研究了张量逆的推广形式——张量的Moore-Penrose广义逆.基于张量的展开秩,提出了张量的满秩分解,从而得到了张量的Moore-Penrose广义逆的一种新的表达式.这些结果肯定地回答了文[56]中提出的一个公开问题.在此基础上,研究了张量线性系统约束条件下的张量逼近问题,它是矩阵逼近问题、张量完全问题等的推广形式.运用张量的Moore-Penrose广义逆的相关结论,得到了该问题唯一可解的充要条件,并利用已知张量的Moore-Penrose广义逆给出了解的具体表达式.另外,考虑了Sylvester张量方程约束条件下的张量逼近问题,提出了求解该问题的一类梯度型迭代方法,并分析了它的收敛性.第五章和第六章主要研究了具有一般系数张量的多重线性系统的求解问题.首先,考虑到多重线性系统由张量-向量积表示的特殊结构,我们将其转化为带一致性约束条件的优化问题.结合经典的ADMM法,提出了求解多重线性系统的多重块ADMM法(G-ADMM).在适当的假设条件下讨论了它的收敛性.在此基础上,我们提出了求解张量的Z—特征值问题的逆迭代方法.其次,结合经典的LM法及其变形,提出了求解多重线性系统的两步加速的LM方法(TALM),并证明了它的三次收敛性.但是,如果多重线性系统的系数张量为稠密张量,则G-ADMM和TALM仍然存在与已有算法类似的缺陷,即“维数灾难问题”——算法的计算复杂性随维数呈指数增长.为此,我们考虑了系数张量的张量链分解,将其运用到上述算法,得到了具有线性复杂性的改进形式.数值实验证实了这些算法的可行性、有效性和优越性.第七章对全文进行了总结,并指出了接下来的研究重点和方向.