两个流形之间的调和映射在上个世纪末是一个比较热的研究课题，调和映射是测地线和极小子流形概念的推广。特别地，对于源流形和象流形都是球面的情形，它们的研究也自然是有意义的。在本文中，我证明了不存在满的二阶调和映射f:S5→S5，其中S5是指6维欧氏空间中的5维单位球面。二阶调和映射也叫λ2-特征映射。先假设上述特征映射存在，然后在此假设下，采用正交变换和比较系数的方法进行有关计算并推出矛盾。在一些高维的球面间，关于其对应λ2-特征映射的研究已经有了很多结果，而低维球面间的特征映射仍然有很多问题未解决。贺慧霞等人证明了λ2-特征映射f:S2n-4→Sn如果存在，则n=4，8;还证明了λ2-特征映射f:S2n-5→Sn（n≥6）如果存在，当且仅当n=6，8，9，10。关于同维数球面间的特征映射问题，当n=1，4，7，13，25时，λ2-特征映射f:Sn→Sn的存在性是已知的。唐梓洲教授曾猜测同维球面间存在λ2-特征映射，当且仅当n=1，4，7，13，25。n=1，4时，映射具有刚性，即在等价意义下，这些映射是唯一的，其中n=1时的存在唯一性是平凡的，n=4的情形已由贺慧霞等人证明。n=7时，是由吴发恩和赵新暖证明的，此时不具有刚性。所以在本文将研究λ2-特征映射f:S5→S5的存在性问题。受吴发恩教授证明λ2-特征映射f:S4→Sn（n=5，6）不存在性的启发，先假设存在上述特征映射，即λ2-特征映射f:S5→S5，然后在此假设下，利用前人结果，将原问题转化成扩张映射F:R6→R6来研究。针对该问题，对映射依次采用降维的方法，即利用正交变换和二次型标准形理论将6维欧氏空间间的映射降为5维空间间的映射，又进一步将所得5维映射转化为三个向量函数的和，由其中一个向量函数衍生出一组新的向量函数，得到了这组新的向量函数的性质。由这些性质和比较系数法，得到很多恒等式。分析这些恒等式，导出矛盾，从而完成结论的证明。