拟共形映照理论是复分析中的一个重要研究分支，不仅交叉渗透到全纯动力系统、偏微分方程和拓扑学等其它数学分支当中，而且在流体力学、弹性力学和脑科学等其它应用学科中也有广泛应用。因此，研究拟共形映照理论及其应用具有重要的意义。对拟共形映照理论的研究包括延拓理论、推广理论、边界特征、连续正则性、极值问题等方面。本文就拟共形调和映照的延拓理论和推广拟共形映照在欧氏度量和双曲度量意义下的连续正则性问题展开研究。首先介绍拟共形映照及其推广映照的研究背景和应用前景，简述本文的基本概念、研究问题和主要结果。研究BA延拓和三角延拓两者之间的双曲距离。通过建立上半平面两点之间的一种新的双曲距离解析表达式，结合标准化的拟对称同胚的偏差估计与凸函数的性质，得到BA延拓和三角延拓两者双曲距离的渐近精确估计，改进了Ibragimov的结果。研究（K, K ’）-拟共形映照和（K, K ’）-拟共形调和映照的连续正则性问题。证明了像域为无界域的（K, K ’）-拟共形映照未必是H lder连续的，这不同于Kalaj和Mateljevi得到的有界域情形。证明了上半平面到自身上的（K, K ’）-拟共形调和映照既是欧氏Lipschitz连续的也是双曲Lipschitz连续的，并给出了上半平面到自身上的调和映照是（K, K ’）-拟共形映照的四个等价刻画条件。研究拟双曲度量意义下多连通区域的几何刻画问题。对于去点域R²\{z₀}，z₀∈R²给出点到直线的拟双曲距离公式，并证明点到直线的拟双曲测地线垂直于直线。借此研究Klén的公开问题，对于平面去两点域和去三点域情形回答了Klén的公开问题，并推广了Klén的估计。