在单图G=（V,E）中,用A（G）=(α_ij)_n×n表示图G的邻接矩阵,则矩阵A（G）的特征值称为图G的特征值。所有图G的特征值组成的序列称为图G的谱。对大量的图来说,还不能直接求出它们的谱,因此对图的特征值的估计是图论中一个相当活跃的课题,近30年来,已有大量的文献和结果。 设矩阵D（G）为图G的度对角矩阵,则称矩阵L（G）=D（G）-A（G）为图G的拉普拉斯矩阵,L（G）的特征值λ₁（G）≥λ₂（G）≥…≥λ_n（G）≥0称为图G的拉普拉斯特征值。这n个拉普拉斯特征值的序列就称作图G的拉普拉斯谱。拉普拉斯矩阵对研究图论之所以重要,是因为可以用其特征值来估计图的诸多不变量,如连通度、直径、带宽等等。 对图的谱分布与图的结构之间的对应关系的研究不仅在理论上能加深对离散结构的内在关系的刻画,在应用方面比如在网络优化与设计,集成电路设计及运筹学方面也有深远的实际应用背景。 本文取得的主要工作可概括如下: 1.简要介绍了图谱和拉普拉斯谱的相关概念及术语,并概述了其研究的的意义及一些进展。 2.树作为一类简单而特殊的图,对它的特征值的研究能帮助了解谱的一些代数性质。在本文第二章第四节中,在完美匹配的条件下,给出了树的所有正特征值的上界。 3.图的拉普拉斯矩阵的定义中揉进了顶点的度,所以拉普拉斯特征值更能反映图的图论性质。在本文第三章第二节中,在已有的图的拉普拉斯谱半径的结果基础上,利用顶点的度给出了几个关于图的最大拉普拉斯特征值的上界,同时给出了极值条件,并与已有的上界作了比较,此外还给出了另一结论的证明。