【摘 要】
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线性森林是所有的连通分支都是路的图,而线性k-森林是所有的连通分支都是长度不超过k的路的图.1970年,Harary提出了图的线性荫度的概念,图的线性荫度就是把图的边集分解成互
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线性森林是所有的连通分支都是路的图,而线性k-森林是所有的连通分支都是长度不超过k的路的图.1970年,Harary提出了图的线性荫度的概念,图的线性荫度就是把图的边集分解成互不相交的线性森林的最少数目,用符号la(G)表示.1980年,Akiyama,Exoo和Harary提出了如下猜想:对任意r-正则图G,有la(G)=「r+1/2」.这亦即著名的LAC猜想:对任意简单图G,有「△(G)/2」≤la(G)≤「△(G)+1/2」.1982年,Habib和Peroche进一步提出了图的线性kk-荫度的概念,图的线性kk-荫度就是把图的边集分解成互不相交的线性kk-森林的最少数目,用符号lak(G)表示.他们猜想:对n个点的图G(kk ≥ 2),有特别地,当k = 2时,就是线性2-荫度,用符号la2(G)表示.本文主要研究一些特殊图类的线性荫度和线性2-荫度,同时,对现有的一些结论进行了重新证明.下面是本文的结构:第一章,我们主要先介绍了本文需要用到的一些基本概念与符号,接着,介绍相关问题的历史背景以及发展现状,最后,阐述了本文的主要结论.第二章,我们主要研究了图的线性荫度,给出了伪树的线性荫度.受九龙树猜想证明的启发,重新证明了 3-正则图和4-正则图的线性荫度.第三章,我们主要研究了图的线性2-荫度.首先,通过找一个合适的(t,2)-线性染色给出了伪树的线性2-荫度;接下来,利用权分配的方法研究了一些特殊平面图的结构性质,定义了(k,1)-图;最后,给出了(k,1)-图以及一些特殊平面图的线性2-荫度的结论.第四章,我们主要阐述了未来需要进一步研究的问题.
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