微分系统的分支理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一，主要研究依赖于参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数变化的规律.就平面向量场的分支理论而言，对于极限环分支的研究已成为人们关注的主要问题.在1900的国际数学家大会上，D.Hilbert提出的著名的“23个数学问题”，其中第16个问题，就是是研究对全体n次实多项式Pn（x，y）和Qn(x，y)，系统(.x)=Pn(x，y)，(.y)=Qn(x，y)的解的几何性态.上世纪80年代以来这一问题的研究已与分支理论相结合.有许多数学家致力于研究Hilbert第16问题或1977年由V.I.Arnold提出的它的弱化问题.然而，这一问题即使对于二次Hamilton扰动系统仍没解决.弱化的Hilbert第16问题，就是确定Abel积分的零点个数.它将平面Hamilton向量场在多项式扰动下分支出的极限环个数的最小上界归结于相应的Abel积分I(h)在其紧分支∑中孤立零点的个数（计重数）的最小上界.但因为人们对高次方程求解的困难，因此，对Abel积分零点个数的求解举步维艰，所以对弱Hilbert第16问题的研究仍然是当今的热门课题之一.　　 本文围绕上述问题展开研究，本文主要研究了两方面内容，主要内容可概括如下:　　 第一部分是在已有的文献基础上，运用Picard-Fuchs方程法和Riccati方程法研究了一类具有双中心的二次可逆系统｛(.X)=-XY,(.Y)=-3/2Y2+1/25X2-1/25.在任意n次多项式扰动下的Abel积分的孤立零点个数的上界问题，得到了当n≥4，该系统的Abel积分I（h）的零点个数不超过14n+18，（n≥4）.　　 第二部分运用反射函数理论研究了二次多项式系统｛(.x)=a1(t)x+a2(t)y+a3(t)x2+a4(t)xy+a5(t)y2=P(t,x，y),(.y)=b1(t)x+b2(t)y+b3(t)x2+b4(t)xy+b5(t)y2=Q(t,x,y).为简单系统时所具有的反射函数结构形式，给出了以这样结构函数为反射函数的充分条件，同时也探讨了当二次系统为周期系统时的Poincaré映射及其周期解的性态，并给出例子验证结论的正确性.　　 周期解为解决一些复杂的微分方程问题提供了很好的突破口，因此本文主要运用Picard-Fuchs与Riccati方程法和反射函数两种方法，研究二次微分系统的周期解的性态，从而进一步探讨微分方程解的性态.