数学物理问题中，散射问题近几十年以来是学术研究的热点。它的物理背景是声波与电磁波的传播、散射、反射及衍射等;人们利用波动方程描述波动现象，用Helmholtz方程描述时谐波现象，从而对实际问题进行数学建模。其中，Helmholtz方程的研究便是这类研究的核心内容之一。本文主要研究了Helmholtz方程解的唯一延拓及逆源问题。利用Helmholtz方程外部区域问题解的解析性质，证明了Helmholtz方程的解在外部区域内给定解析曲线上的唯一延拓定理，并给出了H(o)ldder型的唯一延拓稳定性估计。本文在之后的内容中，详细讨论了Helmholtz方程的逆源问题。该问题由于非散射源的现象，单频或有限个频率的边界观测数据无法唯一地反演未知源项。当观测边界是解析闭曲线时，运用唯一延拓定理可证明部分边界上的多频观测数据可以唯一地反演内部源项。最后，本文提出了两种针对多频观测数据的递归迭代正则化方法，并证明了其收敛性及误差估计。数值算例说明，递归迭代正则化方法很好地考虑了多频数据的优点，通过不断地反演不同频率上真解的局部讯息，可以达到所期望的反演效果。　　第一章中，简要介绍了不适定问题及Helmholtz方程的研究背景。　　第二章中，给出了本文需要的一些预备知识，包括经典正则化方法、Helmholtz方程的解及远场图形、球调和函数及贝塞尔函数、位势理论和Helmholtz方程外部区域问题的适定性讨论。　　第三章中，利用全纯函数的解析延拓性质及有限开覆盖定理，讨论了Helmholtz方程解在解析曲线上的唯一延拓问题，并得到了H(o)ldder型的稳定性估计。数值上，通过引入配点方法和Tikhonov正则化方法，实现了Helmholtz方程解的唯一延拓问题。　　第四章中，详细介绍并讨论了Helmholtz方程的逆源问题及求解方法。Helmholtz方程的逆源问题是逆散射问题中的一个困难课题。由于非散射源现象，单个或有限个频率下的边界观测讯息无法保证反演解的唯一性。若给定特殊区域并基于球调和函数及贝塞尔函数，通过求解Laplace方程的Dirichlet特征值问题，我们得到了L2空间下的一组Fourier基底。同时，如果已知所有的以Dirichlet特征值为波数Helmholtz方程的多频部分边界观测值，那么理论上我们可以证明多频观测数据Helmholtz方程逆源问题的唯一性。文中最后给出了两种基于多频观测数据的递归迭代正则化方法，验证了收敛性并给出了相应的误差估计。数值例子说明了这两个算法的有效性且能给出稳定的数值反演结果。