图像分割是图像分析与计算机视觉中一个基本且重要的课题。图像分割的目标是把图像区域分成许多互不相交的子区域，在每个子区域上图像的某种性质（灰度、色彩和纹理等）呈现一致性。近年来，基于变分模型的图像分割方法凭借其多样的形式、灵活的结构以及优越的性能得到了国内外学者的广泛关注。一般地，变分模型以若干项能量泛函之和的形式出现，其中每一项能量泛函是反映待分割图像的某些特征（灰度、边缘、色彩和纹理等），也可以是待分割目标的形状和特性的先验的知识。能量泛函表示了当前的图像分割和图像信息（或先验知识）的吻合度；最小化能量函数使分割曲线（或曲面）演化，从而提高当前图像分割和图像数据之间的吻合度，最终达到预期的分割结果。本学位论文主要探讨图像分割的变分模型与数值计算，主要工作有：1．针对灰度不均和泊松噪声图像，提出一个凸的局部拟合变分分割模型。灰度不均（Intensity Inhomogeneity）广泛存在于真实图像中，特别是在医学图像（如X射线图像、断层摄影术（CT）图像和核磁共振（MRI）图像）中。如何有效分割这类图像，一直是图像分割领域的一个热门课题。此外，泊松噪声图像在真实图像中也是广泛存在的，比如：医疗成像中的正电子发射断层扫描、荧光显微法和射线摄影术。尤其地，由于成像仪器（如无线电频率不均匀，静电场不均匀），或目标物体的移动，射线图像往往不可避免地具有模糊性和灰度不均匀性，使得分割此类的图像是一项十分困难的工作。RSF模型(IEEE Transactions on ImageProcessing,2008)通过利用局部区域信息，较好地解决灰度不均图像的分割问题，但对于图像中的泊松噪声是十分的敏感。此外，由于RSF能量泛函的非凸性，极小化该模型可能陷入局部极小值，从而敏感于初始化。为了灵活的处理灰度不均和泊松噪声图像，本文提出了一个凸的局部拟合变分分割模型。我们首先提出了一个新的局部拟合能量泛函，该能量泛函利用来源于泊松分布（Poisson distribution）的数据拟合项代替通常的L2-norm作为拟合测度。得益于新的拟合测度，本文的能量泛函不仅能够很好地拟合图像的灰度，而且避免了泊松噪声对分割结果的影响。然后，我们重构局部拟合能量泛函成为全局凸的框架（globally convex formulation），这使得本文模型对初始化非常的鲁棒。最后，我们使用对偶方法（dual formulation）来求解本文模型，从而避免了使用梯度下降流方法所带来的一些局限。2．提出一种快速求解Mumford-Shah模型的变分水平集分割方法Mumford-Shah模型是一个经典的图像分割模型，是许多现有图像分割模型的基础，但它很难直接进行数值求解。Chan和Vese首次采用水平集方法来求解该模型，提出了著名的Chan-Vese模型，并引发了大量后续研究。得益于水平集方法，该模型能够自适应曲线拓扑结构的变化，并容易进行简单的数值实现。然而，Chan-Vese模型以及后续的研究模型存在内在的缺点：求解其能量泛函时不得不使用交互最优化的方式，从而导致演化曲线不能快速收敛到分割结果，并且分割结果依赖于轮廓的初始化。针对这些问题，本文基于聚类算法和水平集框架，提出了快速求解Mumford-Shah能量泛函的变分水平集图像分割方法，完全避免了求解能量泛函时交互最优化方式的使用。数值实验显示，与Chan-Vese模型比较，本文模型（基于聚类算法和水平集框架的方法求解Mumford-Shah模型导出的模型）有更高的计算效率，而且对轮廓初始化有更强的鲁棒性。3．基于Fuzzy C-means聚类算法，提出一个带聚类约束的变分活动轮廓模型。活动轮廓模型依据其固有的优势，已成为图像分割领域一个热门的研究课题，受到国内外学者的广泛关注。但是，活动轮廓模型也面临一些新的挑战：比如：○1活动轮廓模型对演化曲线的初始化仍然是十分的敏感；○2活动轮廓模型对于图像噪声的鲁棒性也有待提高；○3在复杂图像中，活动轮廓模型往往不能有选择性地分割感兴趣目标。针对此，本文探讨了一种基于聚类约束的变分活动轮廓模型。聚类算法是一种无监督的像素划分方式，它能够非常高效的将图像划分为多个不同类的区域，并且容易地获得感兴趣目标的性质而不用预先知道目标特征。这使得我们可以利用聚类算法来有选择性地分割感兴趣的目标。为了将聚类约束融入活动轮廓模型，我们增加一个L1-norm数据拟合项到GAC能量泛函中，从而这两项产生的驱动力共同决定轮廓曲线的演化。由于所提的能量泛函的凸性，本文模型可以简单地将水平集函数初始化为一个常值。最后，对偶方法（dual formulation）是被是用来快速求解所提的模型。