【摘 要】
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令G是阶为n的简单无向图,A（G）是G的邻接矩阵,D（G）=diag（d1,d2,···,dn）是其顶点的度对角阵.那么Q（G）=A（G）+D（G）称为G的无符号拉普拉斯矩阵.G的无符号拉普拉斯谱半径q1（G）就是Q（G）的最大特征值.给定一个不含孤立点的图G=（V,E）,G的一个全控制集S称为定位全控制集,如果对V-S中任何两个不同的顶点u和v,都有N（u）∩S N（v）∩S,其中N（u）={w
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令G是阶为n的简单无向图,A（G）是G的邻接矩阵,D（G）=diag（d1,d2,···,dn）是其顶点的度对角阵.那么Q（G）=A（G）+D（G）称为G的无符号拉普拉斯矩阵.G的无符号拉普拉斯谱半径q1（G）就是Q（G）的最大特征值.给定一个不含孤立点的图G=（V,E）,G的一个全控制集S称为定位全控制集,如果对V-S中任何两个不同的顶点u和v,都有N（u）∩S N（v）∩S,其中N（u）={w|uw∈E};S称为区分全控制集,如果对V中任何两个不同的顶点u和v,都有N[u]∩S N[v]∩S,其中N[u]=N（u）∪{u}.G的定位全控制数γL t（G）（或者区分全控制数γD t（G））,是G中所含点数最少的定位全控制集（或者是区分全控制集）中的点数.图G的顶点子集S是G的一个2-控制集,如果G中不在S中的每个点都和S中至少两个点相邻.G的2-控制数γ2（G）,是G中所含点数最少的2-控制集中的点数.G的毁灭数a（G）,定义为最大的正整数k使得G的非减度序列中的前k项之和最多是G的边数.在第三章,我们首先研究了一般图的无符号拉普拉斯谱半径的上下界.其次,对于给定的非正则图G,我们利用G的直径d和顶点数n给出了2?-q1（G）的下界,并且利用最大度?、最小度δ以及顶点数n等参数给出了q1（G）-4m n的下界.另外,对于k连通的非正则图G,我们利用最大度?、最小度δ、顶点数n、边数m以及连通度κ给出了2?-q1（G）的下界.在第四章,我们首先利用图的顶点数n、直径d和叶子数l给出了树图的区分全控制数的上下界;我们还刻画了达到这些界的树的结构.其次,对于单圈图G,我们利用它的顶点数n、支撑点数s、强支撑点数s1以及叶子数l给出了定位和区分全控制数的极值,并刻画了极图.在第五章,我们研究了树的定位全控制数与毁灭数的关系.最后,我们用毁灭数给出了单圈图的2-控制数的上界,从而部分地解决了有关一般图的2-控制数和毁灭数的一个猜想.
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