【摘 要】
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Atiyah-Singer指标定理将流形上微分算子的指标与流形本身的拓扑不变量建立了联系,经典的?A-亏格的零化定理声称如果一个spin流形带有正的数曲率,那么它的?A-亏格为零,定理成立的原因就在于?A-亏格所对应的微分算子没有调和的spinor。Witten亏格是由Witten把Atiyah-Singer指标定理应用到圈道路空间（loop space）上而定义的,当底流形的第一Pontrjag
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Atiyah-Singer指标定理将流形上微分算子的指标与流形本身的拓扑不变量建立了联系,经典的?A-亏格的零化定理声称如果一个spin流形带有正的数曲率,那么它的?A-亏格为零,定理成立的原因就在于?A-亏格所对应的微分算子没有调和的spinor。Witten亏格是由Witten把Atiyah-Singer指标定理应用到圈道路空间（loop space）上而定义的,当底流形的第一Pontrjagin类为零时,Witten亏格是一个整的模形式。而Witten亏格的零化定理可以看成是?A-亏格的零化定理的圈道路空间版本。这时,圈道路空间的spin条件约等于说是底空间是string条件。对于Witten亏格,Stolz猜测如果一个string流形带有正的Ricci曲率,那么它的Witten亏格一定为零。在本文中我们首先回忆Witten的想法:通过格拉斯曼流形的上同调环的Milnor环结构,导出格拉斯曼流形的留数公式。我们进而把这一结果推广到旗流形上去。利用我们证明的旗流形的留数公式,我们将得到旗流形中广义完全交的Witten亏格的零化定理。我们同时还将讨论广义Witten亏格与椭圆亏格。
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