【摘 要】
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本文主要研究sl（2,R）里拟周期系统的可约性.拟周期薛定谔算子几十年来一直是数学研究的热点,其特征方程所对应的拟周期线性系统是一个十分重要的例子.我们综述关于可约,几乎可约的一些重要结果,来探索可约性在薛定谔算子谱研究方面的应用与进展.同时,基于Avila,Fayad,Krikorian[10]引入的CD-桥技术,对二维底频ω=（α,1）下的关于旋转数正测旋转可约[32],本文给出了另外一个证明
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本文主要研究sl（2,R）里拟周期系统的可约性.拟周期薛定谔算子几十年来一直是数学研究的热点,其特征方程所对应的拟周期线性系统是一个十分重要的例子.我们综述关于可约,几乎可约的一些重要结果,来探索可约性在薛定谔算子谱研究方面的应用与进展.同时,基于Avila,Fayad,Krikorian[10]引入的CD-桥技术,对二维底频ω=（α,1）下的关于旋转数正测旋转可约[32],本文给出了另外一个证明,详见定理3.5.第一章首先引入本文的研究对象:拟周期线性系统以及拟周期薛定谔算子.接着给出了一些主要的概念及定义:可约性,旋转数,丢番图条件等,并阐述了一些预备知识,这在后面的章节里会用到.第二章处理了拟周期薛定谔算子对应的系统在其预解集里的可约性.具体来讲,在预解集里拟周期薛定谔算子对应的系统可约到双曲型,是一致双曲的.第三章主要研究系统的局部可约性,主要方法是KAM理论.KAM理论是研究谱里可约性的一个有效途径.谱里的可约性蕴含着算子的绝对连续谱.在底频满足丢番图条件时,局部可约可分为两种情形:扰动可约和非扰可约.扰动可约是指扰动的大小依赖于丢番图常数,而非扰情形,扰动大小不依赖于丢番图常数.在刘维尔条件下,一般不再有可约的结果,但有稍微弱点的结论,即几乎可约,旋转可约.第四章简述了一些可约性尤其是量化几乎可约在算子谱方面的进一步应用及最新进展.在谱集结构方面,介绍了可约及量化几乎可约在研究康托谱,谱缝隙的估计,以及齐次谱等问题的应用进展.在谱测度方面,可约及量化几乎可约可用来研究算子的Anderson局域化,及绝对连续谱.最后是附录,给出了Floquet定理的证明,以供参考.
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