【摘 要】
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设X是拓扑空间,G是拓扑群.若连续映射π:G×X→X满足以下两条:(a)π(e,x)=x,(?)x ∈ X(这里e是G的单位元);(b)π(g1,π(g2,x))=π(g1g2,x),(?)g1,g2 ∈ G,(?)x ∈ X.则称π为
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设X是拓扑空间,G是拓扑群.若连续映射π:G×X→X满足以下两条:(a)π(e,x)=x,(?)x ∈ X(这里e是G的单位元);(b)π(g1,π(g2,x))=π(g1g2,x),(?)g1,g2 ∈ G,(?)x ∈ X.则称π为G在X上的一个作用.对x ∈X,称O(x)={g(x)|(?)g∈ G}为x点的轨道.所有轨道构成X的一个划分,相应的商空间叫做轨道空间,记作X/G.本文主要研究了轨道空间的两方面性质:(1)将拓扑空间X换成一致空间(X,u),我们主要讨论了拓扑群G满足什么条件时,集族V={V(?)X/G × X/G:p2-1[V]∈u}是X/G的一致结构(其中,p:X→X/G为自然映射).进而,(X/p,u/p)可成为商一致空间.我们主要证明一致空间(X,u)在等度连续群G作用下可得到一致轨道空间(X,u),且(X,u)完备(全有界)的充要条件是(X,u)完备(全有界).(2)若群G连续地作用于拓扑空间X上,并满足以下三个条件:A.映射X→X/G有道路提升性;B.对任意x,x ∈ X,在X中给x的邻域V,如果x∈Gx,则x’ ∈ GV;C.群G/N完全不连续地作用于X/N.其中,G是G在Homeo(X)中的闭包,N包含G的恒等元并且N是群G中有不动点的元素生成的最小正规子群,则Armstrong[2]给出了一个求轨道空间X/G基本群的方法.本文我们证明(1)中生成的一致轨道空间也满足这些条件,进而求出了它的基本群.最后,我们用正交群O(n)作用于Sn-1(n≥3)的例子说明了该结论的正确性.
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