当向量空间基域发生变化的时候会产生很多有趣的问题.向量空间范数的延拓问题在许多应用学科(例如随机过程理论和量子力学)中都有着其重要性.在本文中,我们研究了当基域从R扩张到C,再扩张到H时所产生的范数延拓问题.我们首先考虑了四元数体上的赋范空间和内积空间.我们把四元数赋范空间上的有界线性算子表示为实线性算子的组合,运用这个表示,我们分别在四元数赋范空间和四元数Hilbert空间中建立了Hahn-Banach定理和Riesz表示定理.其次,我们介绍了实向量空间的复化和四元化的概念,并考察了其基本性质.接下来我们证明了实向量空间中的每一个范数都可延拓到该空间的复化空间和四元化空间上.进一步,我们具体构造出了从实向量空间到其复化空间的极大范数延拓,并由此导出了从M n( R )到M n( C )的相容矩阵范数的延拓.最后,我们把这个结果推广到了四元数矩阵的情形: M n( R )上的每个相容矩阵范数都能延拓为M n( H )中的相容强矩阵范数.