所谓丢番图方程是指数论中的不定方程,即指未知数的个数多于方程的个数的方程(或方程组).丢番图方程是数论专业中的一个重要分支,与代数数论、代数几何、组合数学等有密切的联系.有许多待解决而相当困难的问题都要归结为某些不定方程的求解.丢番图方程的内容异常丰富,但又没有一个统一的处理方法,这就决定了我们研究丢番图方程的困难性.一般来说,我们只能给出丢番图的求解原则,即综合利用各种初等的、高深的方法,将丢番图方程化为若干容易处理的或有熟知结果的方程.对于一次和二次丢番图方程的解法,已经基本成熟,而对于三次及高次丢番图方程的解法,还没有一般的结论,有待进一步的研究.本文的主要内容安排如下:一.综述了丢番图方程的概念,丢番图方程的研究现状及研究丢番图的方法.二.全文的预备知识,对同余理论、二次Euclid域中的重要理论和二次代数整数环(?)((?))中算术基本定理都有详细的介绍.三.分四节具体讨论了形如Ax~2+B=y~n的几个方程的解.(1)讨论了方程x~3+11~3=Dy~2的解的情况.(2)讨论了方程x~2+2y~2=z~n解的一般公式,证明了方程x~2+2=z~3仅有正整数解(x,z)=(5,3)及方程1+2y~2=z~3仅有整数解(y,z)=(0,1).(3)用代数数论的知识讨论了丢番图方程x~2+4~n=y~5的解.(4)用柯召-Terjanian-Rotkiewicz方法讨论了方程11x2+1=y~P的解.(5)用代数数论的知识讨论了丢番图x~2+5=y~3的解.