图的谱理论是代数图论中的一个重要研究领域,涉及到图的邻接谱、拉普拉斯谱及无符号拉普拉斯谱等的研究.其研究的主要方法是通过图的各种矩阵表示,利用矩阵理论来研究这些矩阵的代数性质,进而得出图的结构性质等.它的研究目标就是建立图的谱和图的结构之间的联系,即用图的谱刻画图的结构.图的多项式的研究是代数图论的另一个重要研究课题,图的多项式的系数蕴含着图的不变量.因此在图论中,经常使用多项式理论来研究图的性质.图的谱理论和图的多项式都有着重要的理论价值和广泛的应用背景.本文主要考虑了两类问题,一类是给定图类的拉普拉斯谱半径的极值以及拉普拉斯Estrada指标的极值问题;另一类是图的拉普拉斯多项式系数的渐近正态分布问题.共分四个部分:本文第一部分研究了直径为4的n阶树的拉普拉斯谱半径的最小值问题.利用这类树的结构特征,同时结合特征向量方程,从而确定了具有最小拉普拉斯谱半径的树.本文第二部分研究了直径为d的n阶单圈图的拉普拉斯谱半径的极值问题,利用图的边发生移接变化后相应的拉普拉斯谱半径发生改变的特点,以及一些经典的图的拉普拉斯谱半径上界和下界的结果,可知圈长为3或4的直径为d的n阶单圈图具有较大的拉普拉斯谱半径,通过比较这些单圈图的拉普拉斯谱半径,最终唯一确定了具有最大拉普拉斯谱半径的图.本文第三部分研究了两类连通图的拉普拉斯Estrada指标的极值问题.对于边数为m的n阶连通图,其中3n-5/2<m≤2n-6,n≥7,以及悬挂点数目为r的n阶连通图,作者分别得到了拉普拉斯Estrada指标的上界,并且确定了达到上界时对应的极值图.本文第四部分研究了图的拉普拉斯系数的渐近正态分布问题.给出了拉普拉斯系数服从渐近正态分布的一些判断方法,应用这些方法,证明了路、二叉树、星图、圈、轮子、正则图以及超立方体图的拉普拉斯系数都是渐近正态分布的.