本文主要结构分为两部分．首先研究了Carnot群上次调和函数△Gu≥0的下解的Hadamard三球面定理，并基于基本解的表示和和最大值原理给出了证明．其次本文研究了一类偏微分方程的应用问题，基于声学逼近方法对弹性波动方程的研究，探讨了频域反演的目标函数中某些项的计算技巧． 第一部分主要研究Carnot群上次调和算子的三球面定理，共分两章． 第一章介绍了微分方程极大值原理和Hadamard三球面定理的发展背景和选题的实际意义，以及有关Carnot群的一些基本概念及性质． 第二章主要利用Carnot群上调和函数基本解的表示和次平均值性质，证明了Carnot群上次调和函数的最大值原理，给出了Hadamard三球面定理，得到了函数M(r)=max｜x-1oy｜=ru(ζ)是关于｜x-1oy｜2-Q的凸函数的结论． 第二部分主要研究频域波形反演的优化，也分两章． 第三章介绍微分方程反问题的研究背景、实际意义． 第四章基于弹性理论导出了非均匀介质中压力场的波动方程，建立了目标函数，给出了目标函数中数据空间协方差矩阵CD与模型协方差距阵CM的关系，给出了用正演模拟相应Green函数的方法来计算弗雷歇矩阵F从而计算出数据误差梯度方向∧γ的数学推导过程，最后给出了迭代算法．