本文的工作主要有两个方面.一方面讨论了两类非线性算子方程:一类为Banach空间中的非线性混合单调算子方程;另一类为有序的局部凸拓扑线性空间中集值（或多值）映象方程.所使用的方法主要为半序方法及单调迭代技巧等.另一方面是利用非线性算子理论讨论了微分方程解的存在性问题.　　全文共分为三章.　　在第一章中，我们对几类非线性算子(u0-凹算子，混合单调算子，集值算子等)的研究现状进行了阐述，同时简明地介绍了我们在本文中将要做的主要工作.　　第二章，我们给出了几类非线性算子的不动点定理.　　在§2.1和§2.2中，我们给出了t-α(t)型凹凸及t-α(t，u，v)型凹凸的混合单调算子具有唯一不动点的新的存在性定理（参见定理2.1.1和定理2.2.1），本质性地改进了最近许多相关文献原有的条件和结论.在u0-凹增算子的情形，与这些存在性定理相类似的结论实际上也是成立的.作为所得理论结果的一个应用，讨论了一类非线性积分方程解的存在性.　　在§2.3中，我们引入了一类ω-凹凸型混合单调算子，给出了它存在唯一不动点的充分必要条件（参见定理2.3.1等）.在§2.4中，讨论了混合单调算子和的不动点的存在性（参见定理2.4.3）.所得结果改进并推广了相关文献中的部分结果.　　在§2.5中，我们利用§2.1§2.2所得的理论结果并结合算子半群的性质，讨论了Banach空间非线性发展方程解的存在性（参见定理2.5.2和定理2.5.3）.所得结果改进了相关文献中的工作.　　在§2.6中，我们首先在局部凸拓扑线性空间中引入序，给出了集值（多值）凝聚映射的几个不动点定理（参见定理2.6.3和定理2.6.8等），推广了相关文献在Banach空间中所做的一些工作.然后利用所得结果，讨论了优化理论中的一个带约束条件的极小化问题:x∈G(x)，w(x，x)=miny∈G(x)w(x，y），其中w为二元连续实函数，G为集值映象，给出了它存在正解的充分条件（参见定理2.6.9）.　　在§2.7中，我们运用集值映象不动点定理和Schauder不动点定理，讨论了微分方程x(t)+g(t，x(t))=0解的存在性及解的性质（参见定理2.7.2）.这种利用集值算子来研究微分方程的方法在可查文献中尚不多见.　　在第三章中，我们利用Krasnoselskii锥映象不动点定理，不动点指数的性质及锥上的不动点定理等讨论了泛函微分方程周期正解的存在性，非存在性与多解性及一类混合边值问题解的存在性与多解性.　　在§3.1中，利用不动点指数理论等讨论了如下含参数的一阶泛函微分方程周期解问题:y(t)=-a(t)f(y(t))y(t)+λg(t，y(t-(Τ)(t)))，其中，λ＞0为参数.　　在§3.2中，利用锥拉伸锥压缩定理等讨论了如下带参数多变量的二阶泛函微分方程u"(t）+a(t）u(t)=λf（t，u（t-(Τ)(t）），u（t-(Τ)1（t)），…，u(t-(Τ)n（t)））周期正解的存在性非存在性与多解，其中λ＞0为参数.　　§3.1，§3.2所得结果（参见定理3.1.5-3.1.7和定理3.2.1-3.2.3等），在可查文献中均不多见.　　在§3.3中，我们利用Krasnoselskii锥映象不动点定理，不动点指数的性质等讨论了如下一类混合边值问题解的存在性与多解性，{(ψ(u))+f(t,u)=0,0＜t＜1,αψ(u(0))-βψ(u(0))=0，γψ(u(1))+δψ(u(1))=0.其中，α＞0，β≥0,γ＞0,δ≥0.f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).　　ψ:R→R是具有逆的同态映射.　　所得结果（参见定理3.3.1-3.3.5等），改进并推广了相关文献中的一些工作.