本文的主要结果是有关对称群的Kazhdan-Lusztig R-多项式的计算的最新进展。我们计算了以排列u，v为下标的R-多项式的普通生成函数，其中v是对u作用两个交叉对换，两个嵌套对换或者三个嵌套对换得到的。由于R-多项式和～R-多项式是等价的，我们只讨论R-多项式。　　 在第一章，我们首先介绍了Kazhdan-Lusztig理论的背景，回顾了Coxeter系统以及Kazhdan-Lusztig理论的一些基本概念和结果。其中，我们单独讨论了对称群的Coxeter系统。然后从组合解释和显式表达两个方面，对R-多项式的计算情况作了一个综述。最后陈述了我们在对称群的R-多项式的计算方面的一些结果。　　 在第二章，我们计算了R-多项式～Ru.v(q)，其中v是对u作用两个交叉对换得到的，即，v=u(i，j)(k，l)且uiukujul是u的一个递增子序列。我们的思路是先计算Mn(q)=～Re，(1，n-1)(2，n)(q)的普通生成函数，然后用Mn(q)来表示～Ru，v(q)。为了计算Mn(q)，我们引入了另一类～R-多项式Nn(q)=～R(n-1，n)，(1，n-1)(2，n)(q)。我们推导得出Mn(q)和Mn(q)满足的线性递推关系组，通过解这个线性递推关系组得到了Mn(q)和Nn(q)的普通生成函数。为了证明主要结果，我们引入了定义在排列上的两个算子L和R，在后面几章的证明中我们也会用到这两个算子。　　 在第三章，我们计算了～R-多项式～Ru，v(q)其中v是对u作用两个嵌套对换得到的，即，v=u(i，j)(k，l)且uiukuluj是u的一个递增子序列。用第二章定义的算子L和R，我们把计算约化到对Pn(q)=～Re，(1，n)(2，n-1)(q)的计算上。我们用了两种不同的方法计算Pn(q)的普通生成函数。一种直接的方法是引入～R-多项式Qn(q)=～R(n-1，n)，(1，n)(2，n-1)(q)，然后寻找Pn(q)和Qn(q)满足的线性递推关系组。另外一种方法稍微复杂一点，但是我们得到了很多有价值的中间结果。　　 在第四章，我们计算了～R-多项式～Ru，v(q)，其中v是对u作用三个嵌套对换得到的，即，v=u(i1，j1)(i2，j2)(i3，j3)且ui1ui2ui3uj3uj2uj1是u的一个递增子序列。我们先计算～Re，(1，n)(2，n-1)(3，n-2)(q)的普通生成函数，进而得到～Re，(1，n)(2，n-a)(3，n-r-2)(q)的双变量普通生成函数，其中0≤r≤n-6。最后，用～Re.(1，n)(2，n-1(3，n-r-2)(q)来表示～Ru，v(q)。我们也用了两种不同的方法计算～Re，(1，n)(2，n-1)(3，n-2)(q)的普通生成函数。　　 在第五章，我们计算了～R-多项式～Ru，v(q)，其中v是对u作用三个嵌套对换得到的，即，v=u(i1，j1)(i2，j2)(i3，j3)且u满足　　 i1