【摘 要】
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指数和也叫三角和,是指形（?）如的和式,其中x1,…,xk是某有界区域D（?）Rk中的整点,Rk为k维欧几里得空间,f（x）,g（x）为实值函数,e（z）=e2πiz.指数和估计是解析数论中一个重要的研究问题,它有着广泛的应用.最简单的的指数和是一维指数和S=∑a＜n≤be（f（n））,估计该和式的方法有很多.本文利用指数对理论估计一维指数和S,并研究了与除数函数d（n）相关的一类和的渐近行为.本
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指数和也叫三角和,是指形（?）如的和式,其中x1,…,xk是某有界区域D（?）Rk中的整点,Rk为k维欧几里得空间,f（x）,g（x）为实值函数,e（z）=e2πiz.指数和估计是解析数论中一个重要的研究问题,它有着广泛的应用.最简单的的指数和是一维指数和S=∑a＜n≤be（f（n））,估计该和式的方法有很多.本文利用指数对理论估计一维指数和S,并研究了与除数函数d（n）相关的一类和的渐近行为.本文的主要研究工作是得到了Sd（x）=∑n≤xd（[x/n]）的渐近公式:对于任意ε＞0,当x→∞,有其中（?）,∑m≥1（d（m））/（m（m+1））≈1.88.在研究过程中,对于任意的x≥2和1≤D≤x,定义（?）,其中ψ（t）=t-[t]-1/2,δ（?）{0,1}.证明的关键是通过ψ（t）的变号得到（?）δ（x,D）的一个非平凡上界,这中间用到了表达式d（k）=∑mn=k1（m）1（n）中因子m和n的对称性以及指数对理论方法.本文第一章介绍了指数和方法的研究背景及现状,并给出了本文的结论.第二章先介绍了一些常见数论函数的定义及解析数论中常用到的两个方法,随后重点介绍了指数对理论.第三章先介绍了除数函数的性质,然后证明了一个重要命题,该命题在定理的证明中起着关键作用,最后我们给出本文定理的完整证明.
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