【摘 要】
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Volterra积分微分方程是一类重要的数学模型,来源于物理、化学、生物和金融等众多领域.近几十年来,有关Volterra积分微分方程数值解法的研究取得了巨大进展,已涌现出各种行之有效的数值方法.由于Galerkin型方法格式灵活且具有高精度,它已成为求解Volterra积分微分方程的重要方法之一.本文重点考虑求解非线性Volterra积分微分方程的连续和间断Galerkin方法,旨在通过对已有的
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Volterra积分微分方程是一类重要的数学模型,来源于物理、化学、生物和金融等众多领域.近几十年来,有关Volterra积分微分方程数值解法的研究取得了巨大进展,已涌现出各种行之有效的数值方法.由于Galerkin型方法格式灵活且具有高精度,它已成为求解Volterra积分微分方程的重要方法之一.本文重点考虑求解非线性Volterra积分微分方程的连续和间断Galerkin方法,旨在通过对已有的Galerkin逼近进行后处理,从而达到更高阶的收敛速度.本文主要贡献在于:对于一类非线性Volterra积分微分方程的连续和间断Galerkin方法,我们分别提出了简单高效的后处理方法,使得经过后处理的Galerkin逼近解在L~2-,H~1-和L∞-范数意义下均到了整体超收敛,即收敛率提高了一阶.此外,基于后处理的超收敛结果,我们进一步构造了渐进准确的后验误差估计子.最后,通过大量数值算例对理论结果进行了验证.上述超收敛后处理方法的主要思想在于:对已有的连续或间断Galerkin逼近进行简单的校正,也即在k次Galerkin解基础上,分别加上一项k+1次Lobatto或广义Jacobi多项式（并在这些多项式前面乘以适当的系数）.应当指出,我们所提出的后处理格式简单易行,且计算量小（不需要求解任何代数方程组）.此外,本文所提出的超收敛后处理方法也可推广到一阶Volterra积分微分方程组和更高阶的Volterra积分微分方程.
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