对固定的正整数k，k次Waring-Goldbach问题研究方程的可解性，即寻求尽可能小的正整数s=s(k)使得所有充分大的满足必要同余条件的正整数n都可以写成上述方程的形式，其中p1，…，ps是素数.猜测对s≥k十1，上述方程可解.显然，著名的Goldbach问题只是该问题的线性情形.由此也可以看出，该猜想解决起来是非常困难的.不过，自上世纪三十年代以来，众多数学家在该问题上投入了大量的精力并取得了一系列显著的进步.定义H(k)为使得方程(0.1)有解的最小正整数s.1937年，I.M.Vinogradov[27]率先取得突破，通过引进一种估计素变量三角和的新方法并由此使用圆法，他得到了 H(1)≤3.紧接着，华罗庚[4]证明了　　 并且当k≤3时，该结果目前仍然是最好的结果.另一方面，当k≥4时，上述结果已被大大改进.例如，对较小的k≥4，Thanigasalam[22]　　 在1987年得到了　　 近年来，Kawada和Wooley[6]证明了　　 以及Kumchev[7]证明了　　 另一方面，如果寻求对几乎所有而非任意充分大的满足必要同余条件的正整数n使得方程(0.1)可解，则素变量的个数s可以进一步减小.详细来说，我们定义εk，s(N)为不超过N的且不能表示成s个素数的k次方之和的正整数n的集合，并记Ek，s(N)=｜εk，s(N)｜.则Ek，s(N)的上界估计，即是与方程(0.1)相对应的例外集问题.利用上面估计H(k)的方法，与上界H(k)≤so(k)相对应，我们可以同样得到对任意固定的A>0和s≥1/2so(k)成立.在这一方向上的进展首先是由Vaughan[26]得到的，他证明了对某些常数c>0，有　　 而Montgomery和Vaughan[19]证明了存在绝对常数θ<1，使得　　 此后，θ的具体数值被定出并被不断改进，目前的最好结果θ=0.914是由李红泽[10]得到的.在二次的情形，类似的结果首先是由梁敏翔和廖明哲[11]得到的，他们证明了　　 对某绝对常数θ′<1成立.　　 1998年，刘建亚和展涛[15]发现了处理扩大圆法主区间的新方法.此后，这一方法被成功地运用到了堆垒数论的很多问题中.同时，对二次Warging-Goldbach问题例外集的研究受到了很多作者的关注(参见文献[1，13，16，25，12，17，14，21，9，2])；而最好的结果是由Harman和Kumchev[3]于最近刚刚得到的：　　 与二次情形遥相辉映，随着指数和新估计及筛法的引入，三次及高次Warging-Goldbach问题的例外集也有很大进展(参见文献[20，6，24，7，8，18]等).例如在四次的情形，Kumchev在[8]中改进了(0.2)中的上界，他得到了　　 以及　　 这里δ′是一个很小的正绝对常数，而δ″=().最近，刘和展在他们尚未出版的专著[18]中入了新的想法并得到了目前圆法中最大的主区间，由此他们进一步改进了(0.3)，得到　　 在这篇文章中，我们将应用刘建亚教授扩大主区间的思想结合增数和的新估计来研究四次例外集问题，主要结论如下：因为该结果改进了Kumchev的结果(0.4).