本论文主要研究两个方面的内容:一方面为非局部Kolmogorov方程的Schauder估计,另一方面为Schauder估计在带跳随机微分方程中的应用.在介绍我们的结果之前,我们引入下面几个记号:若B为一 Banach空间,T>0,记LT∞（B）:=L∞（[0,T];B）,Lloc∞（B）:=nT>0LT∞（B）,LT∞:=L∞（[0,T]× Rd）.一、非局部Kolmogorov方程的Schauder估计使用H（?）lder空间的Besov刻画,基于Littlewood-Paley分解与积分形式的热核估计,我们提出了一种全新的方法来建立非局部Kolmogorov方程的Schauder估计.以热方程为例,该方法的关键点在于下面这个积分形式的热核估计:对任意的β≥ 0,存在某常数c=c（d,β）>0,使得（?）其中,Rj为Littlewood-Paley分解中通常的block算子,ps（x）为Gauss热核.1.带有奇异Lévy测度的非局部方程的Schauder估计考虑下面这个Rd中的非局部抛物方程:（?）其中,b:R+×Rd→Rd可测,b.▽:=∑i=1d bi?i,Lκ,σ（α）为一α稳定型算子:（?）这里,z（α）:=z1α∈（1,2）+z1|z|≤11α=1且α∈（0,2）,σ:R+×Rd→Rd?Rd可测,κ（t,x,z）上下有界且关于z ∈ Rd对称,而v（α）为一非退化α稳定测度.注意到,这里的v（α）是可以非常奇异的（见章节1.2）.对系数κ,σ以及b作如下假设:（Hκβ）存在某c0≥ 1与β ∈[0,1],使得对所有的t≥ 0和x,y,z ∈ Rd,C0-1 ≤κ（t,x,z）≤c0,|κ（t,x,z）-κ（t,y,z）| ≤c0|x-y|β.且在α=1时,（?）（Hσγ）存在某c0≥ 1与γ ∈[0,1],使得对所有的t≥ 0与x,ξ∈ Rd,C0-1|ξ|2 ≤|σ（t,x）ξ|2 ≤c0|ξ|2,‖σ（t,x）-σ（t,y）‖ ≤c0|x-y|γ.（Hbβ）存在某c0≥ 1与β ∈[0,1],使得对所有的t≥ 0与x,y∈ Rd满足|x-y|≤1,|b（t,0）| ≤c0,|b（t,x）-b（t,y）|≤c0|x-y|β.定义1:称定义在R+× Rd上的有界连续函数u为PDE（1）的经典解,若存在某ε∈（0,1）,（?）此外,对所有的（t,x）∈[0,∞)× Rd,（?）这里,（?）s（Ω）表示开集Ω上的s阶H（?）lder空间,BM表示以原点为中心半径为M的球.在前述假设条件下,利用Littlewood-Paley形式的热核估计,我们证明了定理 1:假设α∈（1/2,2）,γ∈（1-α/α∨0,1],β∈（（1-α）∨0,（α∧1）γ）,以及α+β?N.在条件（Hκβ）,（Hσγ）,和（Hbβ）下,对任意的f∈Lloc∞（lβ）,PDE（1）存在定义1意义下的唯一经典解u,使得对所有的T>0以及某常数c=c（T,c0,d,α,β,γ）>0,（?）2.非局部动理学方程的Schauder估计考虑下面这个R2d中的非局部退化方程:（?）其中,u=u（t,x,v）,Lκ;v（α）为一作用在变量v上的α-稳定型算子:（?）这里,α ∈（0,2）,κ（t,x,v,w）有上、下界且关于w对称,b（t,x,v）为可测函数:b（t,x,v）=（b（1）（t,x,v）,b（2）（t,x,v））:R+× Rd × Rd→Rd × Rd.需指出的是,在此问题中,由于动理学方程解的多尺度特征,我们考虑各向异性H（?）lder空间与各向异性Littlewood-Paley分解.对任意的s>0,令Cxs与Cvs分别表示关于x与v的全局H（?）lder-Zygmund空间,Cas表示各向异性H（?）lder-Zygmund空间,具体的定义参见第2章.令（?）对系数κ与b作如下假设:（Hβ,γ α,ν）存在某c0≥ 1和ν,β ∈（0,1）,对所有的t≥ 0和x,v,w ∈ Rd都有c0-1≤κ（t,x,v,w）≤c0,[κ（t,·,w）]cvβ+[b（2）（t,·）]cvβ+|[b（1）（t,·））|Cα1+ν≤c0,此外,存在某γ ∈[β,1+α)使得[κ（t,·,w）]Cxγ（1+α）+[b（t,·）]Cxγ/（1+α）+|b（t,0）| ≤c0,存在某闭凸子集（?）?GLd（R）使得▽vb（1）（t,x,v）∈（?）,（3）其中,GLd（R）表示所有d × d维可逆矩阵全体.定义2:令λ≥0.我们称定义在R+× R2d上的有界连续函数u是PDE（2）的一个经典解,若对某ε∈（0,1）有u ∈ C（[0,∞）;Cv（α∨1）+ε∩Cx1+ε),对所有的t≥0和x,v ∈ Rd又有（?）类似地,我们证明了定理 2:令 α ∈（1,2）,β∈（0,1）,ν ∈（0,β∧（α-1））,以及 γ ∈（1,1+α）.在条件（Hβ,γ α,ν）下,对任意的f∈ Lloc∞（Cxγ/（1+α）∩ Cvβ）,PDE（2）存在定义2意义下的唯一经典解使得对任意的T>0以及某不依赖于λ>0的常数c>0,（?）二、Schauder估计在带跳随机微分方程中的应用设α ∈（1,2）.令Lt（α）为概率空间（Ω,F,P）上的对称旋转不变α-稳定过程.考虑以下R2d中的带跳退化随机微分方程（SDE）:dZs,t=b（t,Zs,t）dt+（0,σ（t,Zs,t）dLt（α））,Zs,s=z ∈ R2d,t≥ s≥ 0,（4）其中,σ:R+× R2d→Rd ? Rd与b:R+× R2d→R2d为可测函数满足:（Hβ,γ α,ν）σ关于t 一致地在空间方向上Lipschitz连续,且对某c0≥ 1与所有的t≥ 0都有C0-1|ξ| ≤|σ（t,z）ξ| ≤c0|ξ|,ξ∈ Rd,z ∈ R2d,此外,存在ν,β ∈（0,1）与γ ∈（1,1+α）使得|b（t,0）|+[b（t,·）]Cxγ/（1+α）+[b（2）（t,·）]Cvβ+I[b（1）（t,·）]|Ca1+ν≤c0,另外,式子（3）成立.首先,在上述假设条件下,我们证明了可乘Lévy噪音驱动的SDE的强适定性.定理 3:令 α ∈（1,2）,β∈（1-α/2,1）,ν ∈（0,β∧（α-1））以及 γ ∈（1+α/2,1+α）.在条件（Hβ,γ α,ν）下,对每一个s≥ 0与z ∈ R2d,SDE（4）存在唯一强解（Zs,t）t≥s.其次,我们考虑了带有可加Lévy噪音驱动的SDE（4）的C1-随机微分同胚流性质.对Fréchet空间F与时间区间I定义C（I;F）:={f:I→F 连续},D（I;F）:={f:I→F 右连左极}.对k∈ N0,令Ck为所有k-阶连续可微函数组成的Fréchet空间,赋予Fréchet距离:（?）定理4:令α∈（1,2）,γ∈（1+α/2,1+α）以及β∈（1-α/2,1）.假设σ≡I且b（t,x,v）=v+b（1）（t,x）,b（2）（t,x,v）),满足b（1）∈Lloc∞（Cxγ/（1+α））,b（2）∈Lloc∞（Cxγ/（1+α）∩ Cvβ）.则SDE（4）的唯一强解{Zs,t（z）,t>s≥ 0,z ∈ R2d}形成一个C1-随机微分同胚流.更具体的,存在零集N使得对所有的ω?N,（1）对所有的0 ≤s<r<t,始终有Zs,t（z,ω）=Zr,t（Zs,r（z,ω）,ω）,?z ∈ R2d,以及z（?）Zs,t（z,ω）为R2d上的C1-微分同胚.（2）t（?）Zs,t（·,ω）∈ D（[s,∞）;C1)且 s（?）Zs,t（·,ω）∈ D（[0,t];C1）.最后,利用上面这个定理,我们得到带有随机H（?）lder漂移系数的传输方程的适定性.定理5:令α ∈（1,2）.假设b ∈ C（R+× Rd）∩ Lloc∞（Cγ）满足γ ∈（2+α/2（1+α）,1）.对任意的φ ∈（?）1（Rd）以及几乎所有的ω,存在唯一的函数（t,x）?u（t,x,ω）∈C（R+;C0）∩D（R+;C1）使得对每一个x∈Rd,t（?）u（t,x,ω）绝对连续且?tu（t,x,ω）+（b（t,x）+Lt（ωo））·▽xu（t,x,ω）=0,u（0,x）=φ（x）.（5）