量子群的概念首先是由前苏联数学家Drinfeld在1985年前后引入的,而且1986年时Drinfeld在国际数学家大会上作大会报告，并于1990年获得Fields奖。从此量子群成为国际数学的热门学科。量子群从产生到现在只有几十年的时间，是一门新兴的学科，具有很好的研究前景，吸引了很多国内外的专家学者参与了量子群理论的研究工作。近年来，量子群Uq(sl2)理论的研究已经取得了巨大的进展，在量子群理论的研究中，当q不是单位根时量子群Uq(sl2)的表示理论与李代数sl(2）的表示理论是类似的，已经基本解决。但是当q是单位根时，情况就会变得十分复杂。研究量子群Uq(sl2)也很困难。由于量子群Uq(sl2)的有限维表示可以看成是量子群Uq(sl2)的某个商代数的表示，因此研究量子群Uq(sl2)的商代数的表示成为研究量子群Uq(sl2)的特定类型的表示的重要方法。虽然近年来量子群理论的研究已经取得了巨大的进展，但是作为新兴学科的量子群依然存在着很多的研究空间，并且在这领域内还有很多的难题没有得到解决。其中一个最基本的问题就是确定量子群Uq(sl2)的所有有限维表示。本文研究当q是单位根时，量子群Uq(sl2)在限制条件：Kr1, Emr b（其中b任意），Fnr0下的有限维表示。我们用研究量子群Uq(sl2)的商代数Uq(m,n,b)的有限维表示的方法来研究量子群Uq(sl2)的有限维表示。首先，定义量子群Uq(sl2)的商代数Uq(m,n,b)。量子群Uq(sl2)的商代数Uq(m,n,b)定义为复数域C上的含单位元的结合代数，其生成元为E,F,K,K1，且满足文中关系式(R1)、(R2)、(R3)、(R4)、（R5）、（R6）。并且给出它的基本性质。其次，研究量子群Uq(sl2)的模。我们要研究满足下列条件的量子群Uq(sl2)上的模M：对于所有z M满足条件Krz z,Emrz bz和FnrM0。而这些模都可看着是量子群Uq(sl2)的商代数Uq(m,n,b)的模，并将商代数Uq(m,n,b)的模分解成不可分解的模的直和,我们首先从商代数Uq(m,n,b)的左理想U (1)l开始进行逐一的分解。由于当0l r1和l r1时投射模的结构是不一样的，于是在构造主不可分解模时我们需要分为0l r1和l r1两种情况分别进行讨论。最后，把量子群Uq(sl2)的商代数Uq(m,n,b)不可分解的模合并成区块，并研究区块的结构。从而把Uq(m,n,b)的表示问题归结成一个代数表示的问题。而在本文中作者就把量子群Uq(sl2)的商代数Uq(m,n,b)的有限维表示问题归纳为代数1，代数2，C[x]/(xn)和C[x,y]/(xn,ym1)的表示问题。