长期以来,解析数论中一些著名和式的均值估计问题,诸如Gauss和、二项指数和、Kloosterman和以及它们的各种推广和式是众多学者关心的热门问题,很多著名的数论难题也与其紧密相关.本文针对解析数论中几个重要和式的均值问题进行了研究,其中包括广义Gauss和的一类特殊混合次幂均值,三次Gauss和与Kloosterman和的混合均值,二项指数和的四次均值以及二项指数和与三次Gauss和的均值,同时本文还研究了Chebyshev多项式,Lucas多项式及一些著名多项式的整除性质.具体地讲,本文的主要结果如下:1.关于Gauss和与其它和式的混合均值.首先,研究了广义Gauss和的一类具有对称形式的混合均值的计算问题,在一些特定条件下,得到了它们的2k次均值的一个计算公式.其次,研究了三次Gauss和与Kloosterman和的高次混合均值问题,分别给出了一个有趣的线性递推公式和一个较强的渐近公式.2.关于二项指数和与其它和式的混合均值.主要研究了一类二项指数和的四次均值,是对前人的研究内容进行延伸,把原来二项指数和第一项的次幂为奇数的情况延伸到为偶数的情况,得到了在p三3mod4和p≡1mod4的情况下,和式(?)的精确计算公式.这些结果有助于研究二项指数和更高次幂的均值问题.此外,本文还研究了二项指数和与三次Gauss和的混合均值,得到了几个恒等式和渐近公式以及一个三阶线性递推公式.3.关于一些多项式的性质及其应用.本文利用Chebyshev多项式的性质研究了Fibonacci多项式与Lucas多项式的幂和计算问题,得到了这些多项式的一些新的整除性质.同时利用Girard和Waring公式以及数学归纳法解决了Melham提出的一个猜想,并给出了一般性的结论.此外,本文还研究了经典Gauss和的一类有理多项式的递推性质,得出了相应的递推公式.最后也给出了Tribonacci数的几个新的恒等式.