工程中常常会碰到随机激励,例如地震引起的地面震动、大气湍流、海浪、路面不平整度等激励均属于随机激励。由于工程结构在实际工作时往往会受到这些随机振源的作用而产生随机振动,因此随机振动的应用领域十分广泛,例如航空、车辆、土木工程等。随机振动对于工程结构可靠性的影响是显而易见的。在经典振动理论中往往考虑的是工程结构在确定性激励如谐和力等作用下的情况,这样的考虑显然是不够充分的,在某些情况下很可能也是错误的。因此近年来随机振动的研究受到了广泛的关注,研究工程结构在随机振动情况下的可靠性问题具有较高的工程实际意义。在振动分析中往往需要研究多自由度的非线性系统。多自由度系统中可能存在内共振。内共振的产生会在很大程度上影响系统的可靠性。本学位论文在国家自然科学基金(11272201、11372271、11132007)的资助下,开展了多自由度随机振动系统在共振情形的首次穿越可靠性问题的研究。主要研究内容如下:(1)研究了高斯白噪声激励下含内共振的多自由度非线性系统的首次穿越可靠性问题。利用广义谐和函数平均法,得到了内共振情形系统的平均It?随机微分方程。定义了内共振情形系统的条件可靠性函数。在此基础上,得到了内共振系统的条件可靠性函数满足的后向Kolmogorov方程以及平均寿命满足的Pontryagin方程。给出了这两个高维偏微分方程满足的初始/边界条件。以一个二自由度阻尼耦合的Duffing-van der Pol系统为例,研究了1:1内共振情形的首次穿越可靠性问题。得到了系统在内共振情形的条件可靠性函数及平均首次穿越时间。进而建立了系统无内共振情形的可靠性函数满足的后向Kolmogorov方程以及平均寿命满足的Pontryagin方程。将内外共振情形的结果加以比较,讨论了内共振对系统可靠性的影响。用Monte Carlo数值模拟验证了理论分析的正确性以及有效性。(2)研究了宽带噪声激励下含内共振的多自由度非线性拟可积哈密顿系统的首次穿越可靠性问题。基于Stratonovich-Khasminskii极限定理,利用广义函数平均法,得到了系统在内共振情形的平均It?随机微分方程。建立了内共振系统的条件可靠性函数满足的后向Kolmogorov方程以及平均寿命满足的Pontryagin方程。以一个二自由度Duffing-van der Pol系统为例,研究了1:1内共振情形的首次穿越可靠性问题。用数值模拟研究了内共振对系统可靠性的影响,验证了理论分析的正确性以及有效性。(3)研究了谐和力与高斯白噪声激励下多自由度非线性系统在内/外共振情况下的首次穿越可靠性问题。利用广义谐和函数平均法,得到了系统在内/外共振情形的平均It?随机微分方程。定义了内/外共振情形系统的条件可靠性函数。在此基础上,得到了内/外共振系统的条件可靠性函数满足的后向Kolmogorov方程以及平均寿命满足的Pontryagin方程。给出了这两个高维偏微分方程满足的初始/边界条件。以一个二自由度系统为例,详细研究了系统在各种共振情形的首次穿越可靠性问题。讨论了内/外共振对系统可靠性的影响。用Monte Carlo数值模拟验证了理论分析的正确性以及有效性。