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本文的主要目的是研究流体力学方程的高精度高分辨率的数值方法,其主要内容包括以下几个方面:1.本文将GDQ方法推广应用于含有间断解的可压缩流问题,考虑将计算区域分为若干个小区域,在每一个小区域上应用GDQ方法,而在小区域的交界面上根据流动方向确定数值通量,提出了求解一维非线性双曲型守恒律的高精度离散GDQ格式。之后,对格式进行改进,研究了格式的无振荡数学特性。推广到一维守恒方程组,并按分裂形式和非分裂形式推广到二维守恒律情形。最后,通过大量的数值实验,验证了格式的有效性。2.基于通量分裂和单元平均值的二阶MUSCL型插值重构,选取TVD和UNO两类限制函数,构造了二维双曲型守恒律方程的二阶精度的高分辨率格式,证明了格式的MmB特性,推广到方程组情况。给出了二维Euler方程的几个典型算例,比较和验证了两类限制函数所得格式的高效性。3.类似于离散GDQ方法进行单元划分,通过各小单元上的单元平均守恒变量,重构各小单元交界面上的守恒变量,并加以校正,利用近似Riemann解算器求解小单元交界面上的数值通量,采用高阶Runge-Kutta TVD时间离散方法,构造了一维非线性双曲型守恒律的高精度守恒型格式。证明了格式的MmB特性。推广到一维守恒方程组和多维守恒律方程(组)。通过数值实验,比较且验证了两种单元划分情况下格式的高分辨率。此外,基于双曲型守恒律方程与Hamilton-Jacobi方程之间的联系,推广应用于求解Hamilton-Jacobi方程,构造了一类求解Hamilton-Jacobi方程的高精度高分辨间断导数的差分格式。通过一系列的数值算例,验证了格式的有效性。4.类似于离散GDQ方法进行单元划分,根据流动方向将通量分裂为正、负通量,并通过高阶插值逼近得到小单元交界面上的正、负数值通量,为避免由高阶插值产生的数值振荡,进一步根据流向对其进行TVD/TVB校正,采用高阶Runge-Kutta TVD时间离散方法,构造了一维非线性双曲型守恒律的高精度守恒型差分格式。证明了格式的MmB特性。推广到一维守恒方程组和多维情形。最后,给出了一系列的数值实验,得到了满意的数值计算结果。5.提出了非结构网格上二维非线性双曲型守恒律的一类二阶和三阶精度的有限体积WENO格式。对计算区域的三角形单元网格的划分及格式模板的选择作了详细地描述,通过WENO重构方法重构子单元上的高阶多项式,利用有限体积公式和高阶Runge-Kutta TVD时间离散方法,分别构造了二阶和三阶精度的格式。该格式具有一致高阶精度和高分辨率。推广格式到二维Euler方程组。最后,给出了几个数值算例,验证了格式的高效性。