神经元作为神经系统的基本结构和功能单位,具有复杂的非线性特性,其放电活动常表现出许多丰富的动力学行为,如分岔和混沌等.因此,对单个神经元与神经回路的非线性动力学研究显得尤为重要.本论文利用非线性动力学的理论和方法,通过理论分析和数值模拟研究了三类神经元模型的动力学性质,主要工作如下:第一章简述非线性动力学的发展以及非线性动力学在神经系统研究中的重要作用、神经元放电活动的数学模型以及研究现状、本论文的主要研究方法和内容.第二章介绍分岔理论的基本知识与概念.首先介绍动力系统的分岔与结构稳定性,并且叙述鞍-结点分岔和Hopf分岔的规范形.其次介绍神经元模型中平衡点和极限环的分岔.最后详细叙述并讨论了尖分岔、Bautin(广义Hopf)分岔以及Bogdanov-Takens分岔的拓扑规范形,并给出了 Bogdanov-Takens分岔的规范形系数的计算方法.第三章研究呼吸神经元模型的动力学性质.首先建立外电场作用下的呼吸神经元模型.然后对直流电场作用下的呼吸神经元模型进行全系统的平衡点分岔分析,重点研究了 Bogdanov-Takens分岔点附近的拓扑结构,并给出了 Bogdanov-Takens点处鞍-结分岔曲线、非退化的Hopf分岔曲线和鞍点同宿轨分岔曲线的数学表达式.另外,通过调节钾离子的最大电导系数得到四种簇放电类型,并且结合快慢动力学分析和相平面分析解释系统簇放电的产生原因.最后计算了 Hopf分岔点处的第一 Lyapunov系数来确定所产生的极限环的稳定性.第四章研究胰腺β细胞模型的分岔和放电活动.首先考虑模型中参数的改变对系统放电节律的影响.通过数值计算动作电位的峰峰间距随参数变化的分岔图,发现峰峰间距序列的加周期、倍周期与逆倍周期分岔现象,并进一步通过计算系统的最大Lyapunov指数对混沌区域的范围进行确定.然后利用快慢动力学分析方法将系统分为快慢两个子系统,以慢变量为分岔参数讨论锥形与方波形簇放电的形成机理.此外,还研究了快子系统的余维1分岔点的动力学性质,着重分析了平衡点的Hopf分岔.最后讨论了快子系统的余维2分岔,并且计算了余维2分岔点处所对应的参数值与特征值.第五章研究耦合CA1锥体神经元的相位同步.首先用电突触将两个CA1锥体神经元连接起来,建立耦合神经元模型.根据相位差的分布情况,改变耦合强度可以让耦合神经元表现出不同的同步状态.通过连续地变换耦合强度,发现电耦合的CA1锥体神经元之间存在着复杂的同步转迁行为,并且相位差的分布出现倍周期分岔现象,之后同步状态由反相同步过渡到异步.另外,改变膜电容的大小也能影响同步状态的转迁过程.因此,我们将耦合CA1锥体神经元的同步状态在耦合强度和膜电容的二维平面上描绘出来,并且总结了同步状态的转迁规律.最后采用ISI-distance方法来研究耦合神经元的同步程度.该方法不仅可以区分出三种不同的同步状态,而且还可以刻画同种同步状态的不同同步程度,有效地弥补了相位差方法的不足之处.研究结果表明当耦合强度足够大时,对任意的膜电容的值,耦合神经元都能立即达到同相同步状态。