分数阶微积分（分数阶微分和分数阶积分）诞生于1695年,但直到二十世纪七十年代后才引起广泛关注.特别是近年来在软物质、控制工程、反常扩散、流变学等诸多领域中推导出大量的分数阶模型,进一步促进了人们对分数阶动力系统理论和应用的深入研究.与经典常微分方程所描述的动力系统相比,分数阶动力系统更为复杂,目前的数学理论和方法远未成熟.因此,对分数阶动力系统进行研究具有重要的理论意义和应用价值.本文共有四章,主要研究三部分内容,包括分数阶动力系统的线性化定理及其稳定性、分数阶微分方程解的存在性及反常扩散方程解的渐近性估计.具体的研究工作如下:第一章简要地介绍分数阶微积分的发展概况及分数阶微积分的定义和基本性质.第二章主要研究Caputo型分数阶动力系统的线性化定理（即:分数阶的Hart-man定理）.首先,给出Caputo型分数阶动力系统的定义.其次,利用Caputo型分数阶动力系统所具有的性质及拓扑等价的定义,证明Caputo型分数阶动力系统的线性化定理,并举例说明定理条件的必要性.最后,考虑一类非线性分数阶微分系统的稳定性,得到基于Caputo导数的非线性分数阶微分系统的渐近稳定性结论（即,Audounet-Matignon-Montseny猜想）.第三章讨论分数阶微分系统解的存在性.首先利用不动点定理给出一类含Riemann-Liouville导数的分数阶微分方程解存在且唯一的条件,然后给出基于Caputo导数的分数阶微分方程周期解的存在性条件.第四章利用Laplace变换和Fourier变换,得到反常扩散方程（亚扩散方程,阶α∈（0,1）和超扩散方程,阶α∈（1,2））的解的渐近性估计.